Python 如何求解超定线性系统X*A=B？

如何求解超定线性系统

X*A=B

，给出了

A，B

，我需要找到

X

对于平方矩阵（）来说，解决方案似乎很简单：

但是如何处理非平方矩阵呢

示例代码：

def to_homogeneous(_pts):
    n = _pts.shape[0]
    _pts = _pts.transpose()
    pts = np.ones((3,n), np.float32)
    pts[:2,:] = _pts
    return pts

def get_random_affine_matrix():
    src_tri = np.random.rand(3,2) * np.random.randint(1,10)
    src_tri = src_tri.astype(np.float32)
    src_tri = to_homogeneous(src_tri)
    
    dst_tri = np.random.rand(3,2) * np.random.randint(1,10)
    dst_tri = dst_tri.astype(np.float32)
    dst_tri = to_homogeneous(dst_tri)
    
    m = dst_tri @ np.linalg.inv(src_tri)
    
    print('-'*60)
    print('src_tri.shape', src_tri.shape)
    print('src_tri:')
    print(src_tri)

    print('-'*60)
    print('dst_tri.shape', dst_tri.shape)
    print('dst_tri:')
    print(dst_tri)

    print('-'*60)
    print('m.shape', m.shape)
    print('m:')
    print(np.round(m, 5))

    return m

m = get_random_affine_matrix()

src_pts = np.random.rand(4,2) * np.random.randint(1,10)
src_pts = src_pts.astype(np.float32)
src_pts = to_homogeneous(src_pts)

dst_pts = m @ src_pts

print('-'*60)
print('src_pts.shape', src_pts.shape)
print('src_pts:')
print(src_pts)

print('-'*60)
print('dst_pts.shape', dst_pts.shape)
print('dst_pts:')
print(dst_pts)

m = dst_pts @ np.linalg.inv(src_pts) # Gives LinAlgError: Last 2 dimensions of the array must be square

输出：

------------------------------------------------------------
src_tri.shape (3, 3)
src_tri:
[[2.7440674 3.0138168 2.118274 ]
 [3.5759468 2.724416  3.2294705]
 [1.        1.        1.       ]]
------------------------------------------------------------
dst_tri.shape (3, 3)
dst_tri:
[[0.5950692  0.5453126  1.6243374 ]
 [0.11342596 0.95533025 0.9599543 ]
 [1.         1.         1.        ]]
------------------------------------------------------------
m.shape (3, 3)
m:
[[-1.42684 -0.39356  5.91778]
 [-0.68516 -1.20574  6.30521]
 [ 0.       0.       1.     ]]
------------------------------------------------------------
src_pts.shape (3, 4)
src_pts:
[[8.33037    0.7841637  7.4935784  7.830109  ]
 [0.63932455 0.18196557 7.003411   8.807565  ]
 [1.         1.         1.         1.        ]]
------------------------------------------------------------
dst_pts.shape (3, 4)
dst_pts:
[[-6.2199397   4.7272906  -7.5306525  -8.7208805 ]
 [-0.17327118  5.5485325  -7.2733746  -9.679293  ]
 [ 1.0000011   1.0000001   1.0000015   1.0000017 ]]

LinAlgError: Last 2 dimensions of the array must be square

---

我能用伪逆解出来：

# X * A = B
# X * A * A.tr() = B * A.tr()
# X = B * A.tr() * Inv(A * A.tr())

m2 = dst_pts @ src_pts.transpose() @ np.linalg.inv(src_pts @ src_pts.transpose())

---

我能用伪逆解出来：

# X * A = B
# X * A * A.tr() = B * A.tr()
# X = B * A.tr() * Inv(A * A.tr())

m2 = dst_pts @ src_pts.transpose() @ np.linalg.inv(src_pts @ src_pts.transpose())

---

我认为最好的解决方案是使用numpy的

lstsq

功能：

像这样重写你的系统

#X*A = B <=> A.T*X.T = B.T

---

这是一个更好的解决方案，无论是在速度和准确性方面，使用反演还是伪反演，除非您明确需要这些，否则我强烈建议您不要使用它们

我认为最好的解决方案是使用numpy的

lstsq

函数：

像这样重写你的系统

#X*A = B <=> A.T*X.T = B.T

---

这是一个更好的解决方案，无论是在速度和精度方面，使用逆和伪逆，除非您明确需要这些，否则我强烈建议您不要使用它们

您使用非方矩阵的伪逆：使用

np.linalg.pinv

：同样值得使用的是，您可以使用OpenCV应用，invert，等典型转换。例如，请参见

cv2.invertAffineTransform

：对非方矩阵使用伪逆：使用

np.linalg.pinv

：也可以使用OpenCV应用、反转等典型变换。例如，参见

cv2.invertAffineTransform

：