Recursion 证明递归：证明M（n）>=1/2（n+1）lg（n+1）

我想说明快速排序的递归在n log n上的最佳时间运行

我得到了这个递归公式

M(0) = 1
M(1) = 1
M(n) = min (0 <= k <= n-1) {M(K) + M(n - k - 1)} + n

show that M(n) >= 1/2 (n + 1) lg(n + 1)

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但是我认为我做错了什么。我认为k应该是可以的，但我看不出这个等式怎么能抵消所有的k。所以，也许我做错了什么事

你真的想摆脱k。要做到这一点，您需要在Mk+Mn-k-1的最小值上找到下限。一般来说，它可能是任意复杂的，但在这种情况下，标准方法是有效的：采用k的导数

我们希望导数为0，所以

您可以检查它是否确实是本地最小值。

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因此，当k=n-1/2时，我们可以从归纳假设得到Mk+Mn-k-1的最佳下界。现在你可以用这个值代替k，而n将是你唯一剩下的变量。

你是否使用任何软件来帮助你证明？我想这是属于这里的，而不是这里。我投票结束这个问题，因为它是一个数学问题，而不是一个计算机编程问题。

By induction hyposes

M(n) <= min {M(k) + M(n - k - 1} + n

1/2(k + 1)lg(k + 1) + 1/2(n - k)lg(n - k)
1/2lg(k + 1)^(k + 1) + 1/2lg(n - k)^(n - k)
1/2(lg(k + 1)^(k + 1) + lg(n - k)^(n - k)
1/2(lg((k + 1)^(k + 1) . (n - k)^(n - k))

((k+1) ln(k+1) + (n-k) ln(n-k))' =
ln(k+1) + (k+1)/(k+1) - ln(n-k) - (n-k)/(n-k) =
ln((k+1) / (n-k))

ln((k+1) / (n-k)) = 0 <=>
(k+1) / (n-k) = 1 <=>
k + 1 = n - k <=>
k = (n-1) / 2