Types Gallina中是否有任何非类型但有效的术语？_Types_Coq

Types Gallina中是否有任何非类型但有效的术语？

types coq

Types Gallina中是否有任何非类型但有效的术语？,types,coq,Types,Coq,我认为每一个有效的术语都有一个相关的类型。但是，有没有一个术语是Coq接受的，而不是打字的这主要是关于一些翻译的东西，但（我认为）也是一件有趣的事情。不，微积分的每个术语都必须是好的类型。不，微积分的每个术语都必须是好的类型。正如Yves和gallais所说，除了系统中的bug，Coq接受的每个Gallina术语都有一个类型。这几乎是定义上的；Coq接受术语t就是说Check t没有失败，我们可以观察到Check t总是打印一种t。现在，可能是由于Check t本身打印的类型不正确，但这也是

我认为每一个有效的术语都有一个相关的类型。但是，有没有一个术语是Coq接受的，而不是打字的

这主要是关于一些翻译的东西，但（我认为）也是一件有趣的事情。不，微积分的每个术语都必须是好的类型。

不，微积分的每个术语都必须是好的类型。

正如Yves和gallais所说，除了系统中的bug，Coq接受的每个Gallina术语都有一个类型。这几乎是定义上的；Coq接受术语

就是说

Check t

没有失败，我们可以观察到

Check t

总是打印一种

。现在，可能是由于

Check t

本身打印的类型不正确，但这也是系统中的一个缺陷，我从未见过这种情况发生（只要符号不妨碍打印的可逆性）

然而，有两件事与你的要求很接近，你可能会感兴趣

宇宙

在Coq中，我们可以写

Universe i.
Check Type@{i}.

postulate foo : (i : Level) → Set i

然而，尽管

是一个有效的宇宙，

Check i

失败，并且

没有一个类型，即Gallina术语有类型

请注意，在Agda中，我们可以编写

Universe i.
Check Type@{i}.

postulate foo : (i : Level) → Set i

Agda检查人员接受这一点，但如果我们写

bar = (i : Level) → Set i

我们得到错误消息

Setω不是有效类型

。Coq没有这个问题，因为Coq中的宇宙不是术语，Coq中的宇宙多态性是prenex

主题减少的损失

Coq有一些角落案例（可能也被称为bug），其中主题减少丢失了。也就是说，有些类型良好的术语在减少它们时会变得不正确。例如，请参见，其中给出了代码

CoInductive I := C : I -> I.
CoFixpoint infty := C infty.
Definition unfold : infty = C infty :=
  match infty as x return match x with C n => x = C n end with
  | C n => eq_refl (C n)
  end.
Fail Definition nf_unfold : infty = C infty := Eval lazy in unfold.

请注意，即使没有类型注释，我们也会出现这样的错误，例如

Axiom id : forall {T}, T -> T.
Definition nf_unfold := Eval lazy in id unfold.
(*Error: Illegal application:
The term "@id" of type "forall T : Type, T -> T"
cannot be applied to the terms
 "(cofix infty : I := C infty) = C (cofix infty : I := C infty)" : "Prop"
 "eq_refl"
   : "C (cofix infty : I := C infty) = C (cofix infty : I := C infty)"
The 2nd term has type
 "C (cofix infty : I := C infty) = C (cofix infty : I := C infty)"
which should be coercible to
 "(cofix infty : I := C infty) = C (cofix infty : I := C infty)".
*)

这并不完全是你要问的，但它似乎是相关的

自指类型

所有术语都有类型，但并非所有术语都有您想要的类型。例如，给定

A:Type

和

B:A->Type

，您可能希望写下具有类型的术语

forall b : bool, if b then A else B (f true)

当然，Coq不接受这一点，但我们可以定义具有这种类型的术语。例如，给定

、

和

x:@sigT A B

，Coq接受

Definition f := fun b : bool => if b return if b then _ else _
                                then projT1 x else projT2 x.
Check f : forall b : bool, if b then A else B (f true).

无法陈述的定理的证明

在Coq有显式宇宙变量之前，我想证明函数的可扩展性是向下闭合的。也就是说，我想证明这个定理

Set Universe Polymorphism.
Definition funext_at@{i} := forall (A B : Type@{i}) (f g : A -> B),
    (forall x, f x = g x) -> f = g.
Universes i j.
Constraint j <= i.
Theorem funext_downward_closed : funext_at@{i} -> funext_at@{j}.

尽管如此，我还是设法证明了这个定理（参见和，在图书馆中），写下证明项，然后检查定理，看看宇宙约束是否正确。我开玩笑地说，我已经证明了一个无法言喻的定理。