Algorithm 修正几何级数中的模运算

我们知道几何级数中n项之和由 Sn=a1（1-r^n）/（1-r），如果序列的形式为a1、a1*r、a1*r^2、a1*r^3……a1*r^n

现在我修改了几何级数，级数的形式是 a1，（a1*r）模p，（a1*r^2）模p，（a1*r^3）模p…..（a1*r^n）模p其中a1是初始项，p是素数，r是公比。这个级数的第n项由：（a1*r^n-1）mod p给出

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我正试图得到上面修改过的GP的求和公式，并且非常努力。如果有人能给我们一些启示，或者给我们一些建议，让我们在不迭代所有n项的情况下找到求和的有效算法，这将非常有帮助。

主关系是相同的，求和

x

就是

a1*(r^N-1) = (r-1)*x mod p. 

观察的困难在于

p

和

r-1

可能有公约数，这其实不是问题，因为

r-1

分为

r^N-1

，但仍需要小心处理

模除可以通过与逆相乘来实现，并且可以通过扩展的欧几里德算法来计算。任何实施

 d,u,v = XGCD(r-1,p) 

返回最大公约数

d

和贝佐特系数

u，v

，以便

u*(r-1)+v*p = d

与

f/d

，

f=a1*（r^N-1）

相乘得到

(u*f/d)*(r-1) + (v*f/d)*p = f = a1*(r^N-1)

因此，可以将解决方案标识为

x=u*（f/d）

。因此，实现将遵循

 rN = powmod(r,N,p)
 f = a1*(rN-1) mod p

 d,u,v = XGCD(r-1,p)

 return u*(f/d) mod p

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请注意，如果

r

是一个。 然后我们可以降低求和的复杂性

我们必须找到

S=a1*1+a1*r+a1*r^2+…+a1*r^n

。然后我们以闭式形式将

S

写成

S=a1*（r^n-1）/（r-1）

现在可以简化为：

 a1*(r^n - 1) / (r - 1) = S (mod p)
=> a1*r^n = S * (r - 1) + 1 (mod p)

现在取两边以r为底的离散对数

   log(a1*r^n) = log_r(S*(r-1) + 1 (mod p))
   =>log_r(a1) + n*log_r(r) = log_r(S*(r-1) + 1 (mod p))
   =>n*log_r(r) = log_r(S*(r-1) + 1 (mod p)) - log_r(a1) (mod(p-1))
   =>n*1 = log_r(S*(r-1) + 1 (mod (p-1))) - log_r(a1) (mod (p-1))

请注意，如果

a1

为

1

，则最后一项为

0

设S=6，r=3，m=7，a1=1。 然后，我们要求解n的下列同余式：

     (3^n - 1)/(3 - 1) = 6 (mod 7)
=> 3^n - 1 = (3 - 1) * 6 (mod 7)
=> 3^n = 2 * 6 + 1 (mod 7)
=> 3^n = 6 (mod 7)

然后我们采取双方的观点：

     log_3(3^n) = log_3(6) (mod (7-1))
=> n * log_3(3) = log_3(6) (mod 6)
=> n * 1 = 3 (mod 6)
=> n = 3 (mod 6)

所以，n=3

您可以在

O（sqrt（m））

中使用算法来解决这个问题。

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如果你想在代码中实现，我会提供给你。

我投票决定把这个问题作为离题题来结束，因为它与编程无关，只有mathematicsOne可以找到解决上述问题的有效算法。这就是我所问的。原则上，解决方案是相同的，x是

a1*（r^N-1）=（r-1）*x mod p

的解决方案。问题是

p

和

r-1

可能有公约数，这需要在解释扩展欧几里德算法时小心处理，

XGCD（p，r-1）

@LutzL。谢谢你的回复。你能用一个非常简单的例子来解释吗？你必须找到

n

或者什么？上面的实现将计算n个级数的和，我需要的是n个级数的和公式，就像正常几何级数的Sn=a1（1-r^n）/（1-r）一样。到底有什么区别？在您的用例中，您认为

p

和

r

的典型值是什么？如果“p”是素数（从OP开始），

r-1和
p
是相对素数，除非
r-1
是
p
的倍数，这与
r=1
相同。是的，这是正确的。然后，也可以通过Fermat的小定理计算
r-1
的逆，如
powmod（r-1，p-2，p）
。为了实现，我们需要找到模逆righhi，我正试图从这个链接实现小步算法。公式化简为p^i[sqrt（n）]=q*p^-j（mod n）。所以我必须计算p^-j，它必须由扩展的欧几里德算法来完成吗？。是否有相同的代码示例。找到的链接很少，但不是很清楚。您可以从中学习此算法