Algorithm 我们如何扩展（logn）！还有（logn！）！确定复杂性？

我知道那个日志！给出了O（nlogn）的复杂度，但如何检验上述情况？第二个可以简化为（nlogn）！。请对此进行澄清。

更新：不，您不能使用

（N ln N）在第二个公式中。下面使用第一个案例解释原因

随着时间的推移，我们有了

ln(z!) = (z+1/2) ln z - z + O(1)...

请注意，这里保留了额外的
z
，原因很快就会显而易见。现在如果我们让
x=logn

(ln N)! = x! = exp(ln x!)
~ exp((x+1/2) ln x - x) = x^(x+1/2) exp(-x)
= (ln N)^((ln N)+1/2) / N

我们保留的额外项原来是
N
的逆项，它肯定会对复杂性产生影响，因为我们不能简单地丢弃某些东西的exp。如果我们表示上面的近似值
g（N）
，并且
f（N）=（lnn），然后
limf（N）/g（N）=sqrt（2pi）
，所以
f=O（g）

对于
（ln N！），有点复杂，我用mathematica来检查极限，它表明扩展

ln(z!) ~ (z+1/2) ln z - z + ln(sqrt(2pi)) 

够了。我们什么时候可以停下来，我没有一般规则。一般来说，仅仅使用有限项是不可能的。但在这种情况下，我们可以

如果您只需要一个宽松的边界，对于第一个公式，您实际上可以扔掉
-z
项，因为
（z+1/2）lnz>（z+1/2）lnz-z
您可以估计
（log（n））的上下限使用标识
连同产品评估

对于上限：


对于下限：


您将获得：


因此，至少：


显然，（in）方程在某种程度上是“奇数”的，因为乘积的非整数指数边界

更新：
使用sterling近似给出的界限较低（通过
sqrt（log（n））/n
），应该很紧


您可以使用Gamma函数替换n！是否
（logn）！=（日志（n））？和
（logn！）！=（日志（n！））？用户2697032正在谈论
（logn！）不
log（n！）
只是提醒一下，与我的情况相比，你的情况是一个松散的上限$$N^（ln（ln））=O（lnN^（lnN+1/2）/N）$$是的。PS：在你的评论中必须是Ω而不是O。