Algorithm 递归方法的大O复杂度

对于

f（n）=f（n/2）+1，其中
n
是2的幂
（n>=2）

当f（1）=1时

会是这样吗

f(n) = O(logn),
f(n) = O(loglogn),
or
f(n) = O(sqrt(logn))

我相信这是第一个，但我不确定如何验证。
两种方法：

（1）您可以使用归纳法：

假设O（logn）是正确的，那么我们应该显示：

--->对于n=1：它是真的=>f（2）=f（1）+1=1（f（1）是零，因为n>=2），所以它是常数，o（log2）=o（1）

--->如果n为真，则下一个值应为真（即2n，因为n是2的幂）：

因此，我们假设对于f（n）=f（n/2）+1，O（logn）为真

现在，我们应该看看它是否仍然适用于：

f（2n）：f（2n）=f（n）+1=>O（log2n）=O（logn）+1

所以，我们可以再次看到这是真的。因为对于大n，我们有：

方程的左侧：O（log2n）=O（logn+1）=O（logn）

方程的右侧：O（logn）+1=O（logn）

===============================================

（2）二进制搜索树概念：

如果您了解二叉搜索树，那么这个公式显示了基于二叉搜索树的算法的计算时间。因此，每一层的计算时间取决于它的子层（我指的是它下面的一层）。并且，在每一层，正在被添加的计算时间是O（1）。因此，在二元搜索树中，由于有Logn层，所以总共有：Logn*o（1）复杂性，即o（Logn）。
如果
n
是
2
的幂，我们可以编写
n=2^m
。这个循环是这样的

f(2^m) = f(2^(m-1)) + 1

这可以看作是

g(m) = g(m-1) + 1

带
g（0）=1

看到这一点没什么大不了的

g(m) = m + 1

这意味着

f(n) = log2(n) + 1.

这就是精确解。
在方程中插入各种f（n）并检查。