Algorithm 消除图的对称性

我有一个算法问题，在这个问题中，我导出了许多状态之间的转移矩阵。下一步是对它求幂，但它非常大，所以我需要对它做一些缩减。具体来说，它包含很多对称性。下面是一些通过简单观察可以消除多少节点的示例

我的问题是，是否有一种算法可以有效地消除有向图中的对称性，类似于我在下面手动完成的方法

在所有情况下，初始向量对于所有节点都具有相同的值

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在第一个示例中，我们看到

b

、

c

、

d

和

e

都从

a

接收值，并且彼此中的一个接收值。因此，它们将始终包含相同的值，我们可以合并它们

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在本例中，我们很快发现，从

a

、

b

、

c

和

d

的角度来看，图形是相同的。同样，对于它们各自的侧节点，连接到哪个内部节点并不重要。因此，我们可以将图简化为两种状态

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更新：有些人很理性，不太清楚“状态转移矩阵”是什么意思。这里的想法是，您可以将一个组合问题分解为若干状态类型，每个状态类型都是循环中的

n

。然后，矩阵告诉您如何从

n-1

到

n

通常，您只对其中一个状态的值感兴趣，但还需要计算其他状态的值，这样您就可以随时进入下一个级别。但是，在某些情况下，多个状态是对称的，这意味着它们将始终具有相同的值。显然，计算所有这些是相当浪费的，所以我们希望减少图形，直到所有节点都是“唯一的”

下面是示例1中简化图的传递矩阵示例

[S_a(n)]   [1  1  1] [S_a(n-1)]
[S_f(n)] = [1  0  0]*[S_f(n-1)]
[S_B(n)]   [4  0  1] [S_B(n-1)]

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非常感谢对论文的任何建议或参考。

Brendan McKay的nauty（）是我所知道的计算图的自同构的最好工具。计算图形的整个自同构组可能过于昂贵，但您可能可以重用McKay的论文“实用图形同构”（从nauty页面链接）中描述的一些算法。

如果其他人感兴趣，我将在userOVER9000建议的基础上添加一个额外的答案。 下面是通过

dreadnaut

工具在示例2中使用

nauty

的示例

$ ./dreadnaut 
Dreadnaut version 2.4 (64 bits).
> n=8 d g                                     -- Starting a new 8-node digraph
 0 : 1 3 4;                                   -- Entering edge data
 1 : 0 2 5;
 2 : 3 1 6;
 3 : 0 2 7;
 4 : 0;
 5 : 1;
 6 : 2;
 7 : 3;
> cx                                          -- Calling nauty
(1 3)(5 7)
level 2:  6 orbits; 5 fixed; index 2
(0 1)(2 3)(4 5)(6 7)
level 1:  2 orbits; 4 fixed; index 4
2 orbits; grpsize=8; 2 gens; 6 nodes; maxlev=3
tctotal=8; canupdates=1; cpu time = 0.00 seconds
> o                                           -- Output "orbits"
 0:3; 4:7;

注意，它建议将示例2中的

a:d

节点

0:3

和

e:h

节点

4:7

连接起来

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nauty算法没有很好的文档记录，但作者将其描述为指数最坏情况，

n^2

平均值。

计算对称性似乎有点像二阶问题。在第二张图中只取a，b，c和d，对称性必须被表示出来

a(b,c,d) = b(a,d,c)

以及它的所有排列，或者类似的排列。考虑第二个子图a，b′，c′，d′。同样，我们有对称性，但参数化不同

对于计算人员（而不是数学人员），我们可以这样表达问题吗

每个图形节点包含一组字母。在每次迭代中，每个节点中的所有字母都通过箭头复制到其相邻节点（有些箭头需要多次迭代，可以视为匿名节点的管道）

我们正试图找到有效的方法来确定诸如 *N次迭代后，每个集合/节点包含哪些字母。 *对于每个节点，其集合不再更改后的N。 *哪些节点集最终包含相同的字母集（等价类）

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？

+1关于好的示例和好的图形我不知道，但我不确定您在第一个示例中指的是什么“值”（即：“从A接收值”，“包含相同的值”）。如果我理解正确，您是在寻找具有特殊特征的特殊子图（循环、线、完整子图等）（节点度，它们之间的连接，…）也许这些子图在你原来的问题中有一定的意义。也许很好地定义感兴趣的子图并用适当的算法找到它们。问题可能是递归的，在结果图上可以做同样的简化。ANTE：我已经添加了一个说明。我不太确定你是否可以考虑减少的图“子图”。，因为你不会扔掉节点，而是将相等的节点连接在一起。太好了。我尝试使用他们的Drearnaut工具，它输出的结果与预期完全一致。在示例一中，它说节点b:d形成一个“轨道”在例子2中，它给出了a:d，e:h，虽然它没有给出增加的顶点值，但是一旦知道了减少值，它们应该很容易计算。非常有趣！对于你的参考，如果有一个图自同构f，两个顶点u和v在同一轨道上——即，所有保留边的顶点的置换f（即：如果有一条从u到v的边，那么就有一条从f（u）到f（v）的边）——将u映射到v（即：f（u）=v）.的确很有趣。但是我必须承认，出于我的实际目的，我最终采用了一种简单的概率方法。我没有试图计算轨道，而是连续检查了几组节点共享值。我想这很有效，因为我的数字增长得非常快。是的，我们可以这样表示。至少如果我们允许的话多个节点以同一字母开头。