Algorithm 大Oh，小Oh和大θ的关系

如果一个函数f（x）=O（g（x）），那么f（x）=Ω（g（x））和f（x）=ϴ（g（x）），但如果f（x）=O（g（x）），f（x）=Ω（g（x））或f（x）=ω（g（x）），有可能吗

f(n) = o(g(n))
<=> forall c > 0 exists k > 0 s.t. 0 <= f(n) < cg(n) forall n >= k.
<=> g(n) = ω(f(n))

f(n) = O(g(n))
<=> exists c > 0 exists k > 0 s.t. 0 <= f(n) < cg(n) forall n >= k.
<=> g(n) = Ω(f(n))

f(n) = ϴ(g(n))
<=> f(n) = O(g(n)) and g(n) = O(f(n))

这必须适用于任何

c>0

选项。关于

c

我们所知道的只是一个存在；但是只要

f（n）

和

g（n）

严格大于零，我们就知道一定有一个最小的

c

起作用。让

c'

成为

c

在

k'

的最小有效选择。然后我们可以选择

c'=1/c'

。因此，我们需要

0 < g(k'') < g(k'')

0

这总是错误的。因此，只要

f（n）

和

g（n）

不（最终）等于零，我们就不能同时拥有

f（n）=o（g（n））

和

f（n）=Ω（g（n））

---

由于

f（n）=ω（g（n））

意味着

f（n）=Ω（g（n））

，根据我们的假设，我们知道后者不是真的，那么我们也可以安全地回答问题2的否定。

我们给出了一些正式的定义：

f(n) = o(g(n))
<=> forall c > 0 exists k > 0 s.t. 0 <= f(n) < cg(n) forall n >= k.
<=> g(n) = ω(f(n))

f(n) = O(g(n))
<=> exists c > 0 exists k > 0 s.t. 0 <= f(n) < cg(n) forall n >= k.
<=> g(n) = Ω(f(n))

f(n) = ϴ(g(n))
<=> f(n) = O(g(n)) and g(n) = O(f(n))

这必须适用于任何

c>0

选项。关于

c

我们所知道的只是一个存在；但是只要

f（n）

和

g（n）

严格大于零，我们就知道一定有一个最小的

c

起作用。让

c'

成为

c

在

k'

的最小有效选择。然后我们可以选择

c'=1/c'

。因此，我们需要

0 < g(k'') < g(k'')

0

这总是错误的。因此，只要

f（n）

和

g（n）

不（最终）等于零，我们就不能同时拥有

f（n）=o（g（n））

和

f（n）=Ω（g（n））

---

既然

f（n）=ω（g（n））

意味着

f（n）=Ω（g（n））

，根据我们的假设，我们知道后者不是真的，那么我们也可以安全地回答问题2的否定。

这与编程有什么关系？也许可以试试数学堆栈交换站点这是如何编程的？也许可以试试数学堆栈交换站点