Algorithm 在给定二进制MxN矩阵和切换列的能力的情况下，最大化行的相同性？

如果您有一个1和0的二进制矩阵，并且您能够切换列，将列中的所有1更改为0，将所有0更改为1，那么如何找到所有可能的列切换组合的最大纯行数？ 纯粹的意思是该行全部为0，或全部为1

例：

10

10

11

您可以切换任一列以获得2个纯行，这是您所能做的最好的切换两个都不是更好的，因此您返回2个纯行的最大数量

我似乎想不出一个有效的方法来做这件事。到目前为止，我得到的唯一方法是使用一堆循环和蛮力，并通过检查一行的总和是否为0（全部为0）或N（一行中的元素数）来检查相同性。

Update 在OP澄清后，最大纯行问题是找到切换后变为00…0或11…1的最大行数。我已经相应地更新了我的解决方案

请注意，我们有以下事实：

如果两行ri和rj在切换后减少为纯行，那么我们必须从ri=rj开始

如果ri≠ rj和ri重叠rj，即它们对应的一些列是相同的，那么它们不能映射到一个纯行

上述两个事实都直接来自以下观察结果：

Max number of "pure" rows is the same as the max number of identical rows

证据 我们声称，构成最大纯问题解的所有行在矩阵M中必须是相同的

假设我们得到一个m×n矩阵m，并且我们已经找到了最大纯行问题的一个解。让行ri和rj是两个任意行，在切换后，它们将减少为纯行

在对σ1、σ2、…、σk、ri和rj表示的列进行所有必要的切换操作后，观察它们是否都是纯行。i、 e.我们有以下几点：

σ1(σ2(...(σk(ri)...)) = σ1(σ2(...(σk(rj)...)) = 00...0

σ2(σ3(...(σk(ri)...)) = σ2(σ3(...(σk(rj)...))

或

因此，在应用所有这些切换操作之后，ri和rj将彼此相等。如果我们撤销最后一次切换，即切换这些行的同一列条目，显然ri和rj仍将映射到相同的输出。i、 e.我们有以下几点：

σ1(σ2(...(σk(ri)...)) = σ1(σ2(...(σk(rj)...)) = 00...0

σ2(σ3(...(σk(ri)...)) = σ2(σ3(...(σk(rj)...))

如果我们继续撤消切换操作，我们可以得出ri=rj的结论。换句话说，如果从max pure问题的解决方案中选取任意行，则这些行在开始时必须相同

主意 给定一行ri，如果它可以减少到纯行，比如00…0，那么我们知道另一行rj不能减少到11…1，如果ri与上面事实2中的rj重叠。我们只能希望不与ri重叠的另一行rk减少到11…1

算法 根据前面的想法，我们可以使用下面的简单算法来解决最大纯行问题

我们首先扫描矩阵M的行，然后找到由s1，s2，…，sk表示的矩阵的所有唯一行。我们让countsi表示si出现在M中的次数。 然后，我们循环所有对si，sj，以确定最大纯行数，如下所示：

int maxCount = 0;

for each row si:
    for each  sj ≠ si:
        if (sj overlaps si)
            continue;
        else
            if (count(si) + count(sj) > maxCount)
                // We have found a better pair
                maxCount = count(si) + count(sj);    

return maxCount;

---

我们正在进行内部for循环中的工作，以便在条目方面检查两行是否重叠，在最坏的情况下，循环超过Om2行，因此算法的运行时间是Onm2。

也许我遗漏了什么，但是快速运行行应该可以回答您的问题

从顶行开始，根据需要翻转每列，直到顶行全部为T。计算纯行数。每隔一行重复一次，查找计数是否大于前一行

您不需要反转整个矩阵，因此每一行都是F，计数将是相同的

---

最糟糕的运行时间是Onm。

如果行是纯的，为什么行必须相同？[[0,1]，[1,0]]不是反例吗？如果切换第1列，会得到两个不相等的纯行？只需要对您的问题进行一些澄清。从您的评论中可以看出，您要求的结果行的最大数量为00…0或11…1，但不完全属于其中一个类别，是吗？是的…如果101和010等行被标识为相同，您的解决方案可能会起作用。我已相应地修改了我的解决方案以解决此问题