Algorithm 查找可能的选择数的算法

有人问我这个问题，我想了很多，但没能解决

问题是:

我被要求选择n支彩色铅笔。有k种不同颜色的铅笔。每个颜色组中也有无限多支铅笔。我希望每个颜色组至少有一支铅笔，但仍然有很多选择的可能性

对于这组选择，一个人可以有多少种可能性？

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假设同一颜色的铅笔无法区分，并且铅笔的顺序是不相关的。

我们假设n>k，否则您无法实现“每种颜色至少一种”

然后，您的第一个k选择被完全定义，每种颜色一个。剩下的就是（n-k）铅笔，它可以是任何颜色。这就是第一个k选项，第二个k选项

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换句话说：k^（n-k）

想象n个插槽之间有n-1个空格。将k-1分隔符放入插槽之间的空间（每个插槽最多1个分隔符）可确定有效选择：将第一种颜色放入第一个分隔符之前的所有插槽中，将第二种颜色放入第一个和第二个分隔符之后的插槽中，等等。因为每两个分隔符之间至少有一个空间，每种颜色至少有一支铅笔

映射是一对一的，因为每个选择也会生成一个唯一的分隔符配置

将k-1分隔符放入n-1空间可以用n（n-1，k-1）的方式完成，其中n是牛顿符号，因此答案是n（n-1，k-1）

另一种表达方式，基于djna回答：

固定k支铅笔，每种颜色一支——每种颜色至少需要一支，这样可以确保满足这一要求。现在剩下n-k个选项，您可以按照自己的意愿在不同颜色之间进行分割，这一次不必关心选择每种颜色（这是由首先选择的k支铅笔确定的）。解决方案的数量是可以将n-k支不可区分铅笔分割成k个可区分（*）分区的方法的数量

如何列举？在你的n-k铅笔上加上k-1笔，把它们排成一行，从左到右涂色，遇到铅笔后改变颜色。例如，将钢笔表示为

*

，将铅笔表示为

-

，使用三种颜色（红色、绿色、蓝色）表示：

表示两支红色铅笔，零绿色和一支蓝色。在这种表示法中，有（n-k）+（k-1）=n-1个元素（笔和铅笔）。从这些元素中，您需要选择k-1笔位置（或n-k笔位置，因为选择一个集合决定另一个集合）。您可以选择的方法是n（n-1，k-1）

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（*）我假设“2红，1绿”与“2绿，1红”不同，否则是一项完全不同的任务。

这可能更适合。@abat您不能将问题移动到测试站点。单击“关闭”链接，选择“主题外”，您可以看到问题可以迁移到的站点。@Space\u C0wb0y：这是基本的组合数学，因此math.stackexchange.com更适合。在您的答案中，铅笔的顺序是相关的，但不可以，但不仅有

n

铅笔，还需要选择

n

。铅笔组是无限的。这里的顺序是不相关的，但你的回答没有考虑到这一点。我打赌他忘了提到他将随机挑选：）我不太能够理解解决方案。你能用另一种方式解释吗？哪一部分需要解释？牛顿符号，分隔符和选择的关系，分隔符和选择的关系。。。Thanx添加了一种不同的表示结果的方法。

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