Algorithm 伪丢番图方程极小化的快速算法

我们正在寻找一种算法来解决O（N）下的这个问题

给定两个实数a和b（在不丧失一般性的情况下，您可以假设它们都在0和1之间） 在-n和n之间找到一个使表达式最小化的整数n：

|a n-b轮（a n-b）|

我们曾认为欧几里德算法可能会很好地解决这个问题，但无法解决这个问题。当然，看起来应该有比对整数n进行穷举搜索更快的方法来实现这一点

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注意：在我们的情况下，a和b可能会经常变化，因此为查找表修复a和b是可能的，因为N也可能变化，所以它变得有点难看。尚未详细查看查找表，以了解它作为N的函数可以有多小。

您正在有效地搜索使表达式

aN-b

尽可能接近整数的整数N。

a

和

b

是否固定？如果是，您可以预先计算查找表，并具有O（1）：-）

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如果不考虑n，使<代码> < <代码> > <代码> i+b>代码>所有整数>代码> i < /c> > /p> < p>听起来你可能正在寻找类似……/p>之类的东西。 它们有什么关系？假设你可以用有理数b1/b2代替b。现在你在寻找整数n和m，这样an-b1/b2大约是m。换句话说，你在寻找n和m，使得（m+（b1/b2））/n=（mb2+b1）/nb1，一个有理数，近似为a。设置a1=mb2+b1和a2=nb1。从连分数近似中找到a1和a2的值，并求解n和m

另一种方法可以是：

为a和b找到一个好的有理逼近：a~a1/a2和b~b1/b2

求解n（a1/a2）-（b1/b2）=m表示n和m

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不过，我不太确定它会起作用。A的精度取决于N和B.

首先，让我们考虑一个简单的情况，其中B＝0，0＜A＜1。F（a，n）=一轮（an）|

让步长_size=1

Step 1. Let v=a
Step 2. Let period size p = upper_round( 1/v ).
Step 3. Now, for n=1..p, there must be a number i such that F(v,i) < v.
Step 4. v = F(v,i), step_size = stepsize * i
Step 5. Go to step 2

第1步。设v=a
第二步。让周期大小p=上轮（1/v）。
第三步。现在，对于n=1..p，必须有一个数字i，使得F（v，i）

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正如你所看到的，你可以把F（v，*）降低到你想要的任何水平。最终解n=步长。

您可以计算比率a/b的连分数。分母大于

N

或近似值足够好时，可以停止

// Initialize:
double ratio = a / b;
int ak = (int)(ratio);
double remainder = ratio - ak;

int n0 = 1;
int d0 = 0;

int n1 = ak;
int d1 = 1;

do {
    ratio = 1 / remainder;
    ak = (int)ratio;
    int n2 = ak * n1 + n0;
    int d2 = ak * d1 + d0;
    n0 = n1;
    d0 = d1;
    n1 = n2;
    d1 = d2;
    remainder = ratio - ak;
} while (d1 < N);

//初始化：
双倍比率=a/b；
int ak=（int）（比率）；
双余数=比率-ak；
int n0=1；
int d0=0；
int n1=ak；
int d1=1；
做{
比率=1/余数；
ak=（int）比率；
int n2=ak*n1+n0；
int d2=ak*d1+d0；
n0=n1；
d0=d1；
n1=n2；
d1=d2；
余数=比率-ak；
}d1

您要查找的

n

的值为

d0

（如果仍然小于

n

，则为

d1

）

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这不一定会给出最小解，但它可能是一个非常好的近似值。

a和b不是固定的。我们早就想到了。我们已经考虑过为N个小的建立N个查找表，但这是用O（N）空间换取O（1）速度，我们通常不喜欢这种方法，但这是我们的退路。你试过绘制方程并尝试一些启发式方法吗？不，对这一个的启发式方法不太感兴趣。这至少可以提供一些见解。

a

和

b

是实数还是精度有限的浮点整数？可能是浮点，也可能是双精度。这是要在计算机上实现的东西。如果你打算测试k个不同的n，那么我可以提供一个解决方案，保证| a n-b-round（a n-b）|<1/k。我们正在搜索所有n个整数，这样| n |我肯定他知道连分数是什么，但这有什么帮助，是吗？你不觉得找到实数的有理近似值有什么相似之处吗？“我太累了，现在无法写出一个像样的论点。@JoniSalonen寻找有理近似！=解决方案在这里。即使x/y大约等于a，那么| ya round（ya）|可能仍然很高。例：a=0.1111111110874642873287。。。。x=1，y=9是一个很好的近似值。但| 9*a-轮（9*a）|大致等于1。编辑答案以使想法更清晰@ElKamina不会一轮9*a（9*a）更像.000000000 212821440417，而不是最低需要1。为什么d0或d1是我要找的数字？如果b=0，那么让n=0（n在-n和n之间，包括-n和n），我们得到的表达式是零。我假设你正在研究子问题，其中n在1和n之间，包括1和n？你能描述一下你的算法在做什么吗？看起来像某种连分数表达式吗？@John这给出了一个介于1和无穷大之间的解。现在我详细地看了你的问题，是的，这对你的问题不起作用。