Algorithm 编辑距离（Levenshtein距离）递归自顶向下实现的复杂性

我整天都在为一个我似乎无法解决的问题而工作。任务是证明编辑距离的递归实现具有时间复杂度Ω（2max（n，m）），其中n&m是被测单词的长度

该实现与这个小型python示例相当

def lev(a, b):
    if("" == a):
       return len(b)   # returns if a is an empty string
    if("" == b):
        return len(a)   # returns if b is an empty string
    return min(lev(a[:-1], b[:-1])+(a[-1] != b[-1]), lev(a[:-1], b)+1, lev(a, b[:-1])+1)

发件人：

我曾尝试为不同的短单词绘制递归深度的树，但我找不到树深度和复杂性之间的联系

我的计算中的递归公式

m = length of word1
n = length of word2
T(m,n) = T(m-1,n-1) + 1 + T(m-1,n) + T(m,n-1)
With the base cases:
T(0,n) = n
T(m,0) = m

但我不知道如何继续，因为每次通话都会导致3次新通话，因为通话长度没有达到0

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关于如何证明下限复杂度为Ω（2max（n，m））的任何提示，我将不胜感激。

您的递归公式：

T(m,n) = T(m-1,n-1) + T(m-1,n) + T(m,n-1) + 1
T(0,n) = n
T(m,0) = m

这是对的

你可以看到，每一个

T（m，n）

都会将的拆分为三条路径。由于每个节点都在

O（1）

中运行，因此我们只需对节点进行计数

最短路径的长度为

min（m，n）

，因此树至少有

3min（m，n）

节点。但有些道路更长。通过交替减少第一个和第二个字符串，可以获得最长路径。此路径的长度为

m+n-1

，因此整个树最多有

3m+n-1

个节点

设

m=min（m，n）

。该树还包含至少

不同的路径，每种可能的还原顺序一条

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所以，

Ω（2max（m，n））

和

Ω（3min（m，n））

是下限，

O（3m+n-1）

是上限。

你确定大ω吗？让n保持不变为1。然后我们可以很容易地看到，复杂性是km（树几乎是一个列表），对于m>=m\0，非常清楚的是km<2^m=2^max（1，m）