Algorithm 表达式的渐近运行时复杂性

我可以说：

对数n+对数（n-1）+对数（n-2）+对数（n-k）=θ（k*logn）

上述内容的正式书写方式：

西格玛（i从0到k）对数（n-i）=θ（k*logn）

如果上述陈述是正确的，我如何证明

如果它是错误的，我如何将它（当然是方程的左侧）表示为n和k的渐近运行时函数

谢谢。

表示：

LHS=log（n）+log（n-1）+…+日志（n-k）

RHS=k*log n

请注意：

LHS=log（n*（n-1）*…*（n-k））=log（k+1阶多项式）

因此，这等于：

（k+1）*日志（n（1+限制为0的术语））

如果我们考虑除法：

（k+1）*log（n（1+限制为0的术语））/RHS

我们进入极限：

（k+1）/k=1+1/k

因此，如果

k

是一个常数，则这两个项的增长速度相同。所以

LHS=theta（RHS）

当

n

为常数时，以前在限制中

0

的术语不会消失，而是得到：

（k+1）*一些常量/k*（一些其他常量）

所以它是：

（1+1/k）*（另一个常量）

。因此也

LHS=theta（RHS）

表示：

LHS=log（n）+log（n-1）+…+日志（n-k）

RHS=k*log n

请注意：

LHS=log（n*（n-1）*…*（n-k））=log（k+1阶多项式）

因此，这等于：

（k+1）*日志（n（1+限制为0的术语））

如果我们考虑除法：

（k+1）*log（n（1+限制为0的术语））/RHS

我们进入极限：

（k+1）/k=1+1/k

因此，如果

k

是一个常数，则这两个项的增长速度相同。所以

LHS=theta（RHS）

当

n

为常数时，以前在限制中

0

的术语不会消失，而是得到：

（k+1）*一些常量/k*（一些其他常量）

所以它是：

---

（1+1/k）*（另一个常量）

。因此，同样

LHS=theta（RHS）

当证明

Θ

时，你要证明

O

和

Ω

上限很容易证明：

log（n（n-1）…（n-k））≤ log（n^k）=k log n=O（k log n）

对于下限，如果

k≥ n/2

， 然后在产品中有

n/2

项大于

n/2

：

log（n（n-1）…（n-k））≥ （n/2）对数（n/2）=Ω（n对数n）≥ Ω（k对数n）

如果

k≤ n/2

，所有术语均大于

n/2

：

---

log（n（n-1）…（n-k））≥ log（（n/2）^k）=k log（n/2）=Ω（k log n）

当证明

时，您要证明
O
和
Ω

上限很容易证明：

log（n（n-1）…（n-k））≤ log（n^k）=k log n=O（k log n）

对于下限，如果
k≥ n/2
，
然后在产品中有
n/2
项大于
n/2
：

log（n（n-1）…（n-k））≥ （n/2）对数（n/2）=Ω（n对数n）≥ Ω（k对数n）

如果
k≤ n/2
，所有术语均大于
n/2
：

log（n（n-1）…（n-k））≥ log（（n/2）^k）=k log（n/2）=Ω（k log n）
你以前是如何证明θ界的？@DennisMeng-有一点，但我特别需要这个。我说的是“How have”不是“have”。@DennisMeng哦，作为“θ界求解者”，我没有很好的经验。在我现在学习的课程中，没有强调θ的界限，尽管我们需要一点，只是想知道。我见过的通常方法是证明大O和大Omega边界，但如果你还只是刚刚弄湿你的脚，那么我可以理解你对证明方法不熟悉。你以前是如何证明θ边界的？@DennisMeng-有一点，但我特别需要这个。我说“怎么有”没有。“怎么有”。@DennisMeng哦，作为一名“θ边界解算器”，我没有很好的经验。在我现在学习的课程中，没有强调θ的界限，尽管我们需要一点，只是想知道。我见过的通常方法是证明大O和大Omega边界，但是如果你仍然只是刚刚开始，那么我可以理解不熟悉证明方法。我需要一个明确的θ表达式，你是说这是θ（lg（n^（k+1））？非常感谢！我能说一般来说log（k阶多项式）=Teta吗（k*logn）？@我现在看到的程序员-是的。但是我会非常小心，极限可能会非常反直觉；）但是很容易用WolframAlpha进行实验。非常感谢：）我所学的课程是关于算法的，所以数学层不那么重要。在你的回答中，你是说log（k+1阶多项式）=θ（klog n），在你的评论中，你说log（多项式k阶）=θ（klog n）-这有意义吗？我需要一个明确的θ表达式，你是说这是θ（lg（n^（k+1））？非常感谢！我能说一般来说log（k阶多项式）=teta（k*logn）？我现在看到的程序员-是的。但是我会非常小心，极限可能会非常违反直觉；）但是用WolframAlpha进行实验很容易。非常感谢：）我所学的课程是关于算法的，所以数学层并不那么重要。在你的回答中，你说log（k+1阶多项式）=θ（klog n），在你的评论中，你说log（多项式k阶）=θ（klog n）-这有意义吗？为什么log（n*（n-1）*…*（n-k）你是对的，它应该是
log（n^（k+1））
，但这不是问题，因为这仍然适用于
O（k logn）
。最后一行中的相同内容应该是
log（（n/2）^（k+1））
，但也没有真正改变