Algorithm 计算$a^{^nC\u r}$%prime_Algorithm_Math_Modular Arithmetic

Algorithm 计算$a^{^nC\u r}$%prime

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Algorithm 计算$a^{^nC\u r}$%prime,algorithm,math,modular-arithmetic,Algorithm,Math,Modular Arithmetic,我把我的问题上传为截图。意味着当p不除以x时，（x^y）mod p=x^（y mod（p-1））mod p。意味着当p不除以x时（x^y）mod p=x^（y mod（p-1））mod p。费马的小定理说 x^p mod p = x mod p or x^(p-1) mod p = 1 (if p does not divide x) 当p不除x时，我们可以使用此函数来减少计算x^m（m任意）的操作数：将m除以（p-1），得到：s=（m mod p-1）；不需要计算商注意

我把我的问题上传为截图。

意味着当p不除以x时，（x^y）mod p=x^（y mod（p-1））mod p。

意味着当p不除以x时（x^y）mod p=x^（y mod（p-1））mod p。

费马的小定理说

x^p mod p = x mod p     or     x^(p-1) mod p = 1  (if p does not divide x)

当

不除

时，我们可以使用此函数来减少计算

x^m

（

任意）的操作数：

将

除以

（p-1）

，得到：

s=（m mod p-1）

；不需要计算商

注意

m=（p-1）q+s

和

x^（p-1）=1模p

。所以

x^m=x^（（p-1）q）x^s=（1^q）（x^s）mod p=x^（m mod p-1）

然而，仍然存在的问题是如何计算

choose(n,r) = n(n-1)...(n-r+1)/(r(r-1)...1) mod p-1

附录

对以上问题的进一步思考导致我们思考以下问题。我们有三个整数：

c = choose(n,r)
m = n(n-1)...(n-r+1)
f = factorial(r)
q = p-1

满足

c = m/f,                                 eq 1

我们必须回答的问题是计算

c mod q

as是否有效

(c mod q) = (m mod q)/(f mod q)          eq 2

对吧?？因为这将允许我们将

choose（n，r）

的计算减少到两系列模乘加一个除法（一种简单有效的算法）

现在，

eq 1

可以重写为

 c*f = m

这使我们能够将

mod q

应用于两侧：

 (c mod q)(f mod q) = (m mod q)          eq 3

因为众所周知，

mod

与乘积（和和）进行换算，这正是我们将用于计算上述模乘序列的特性

由于

eq 3

中涉及的树数量是整数，我们可以用

（f mod q）

除以两边，得到

eq 2

。我的答案现在已经完成了

附录2

我说我的答案现在已经完成了。不完全是。仍然存在的问题发生在

f mod q=0

时，在这种情况下，我们不能像上面那样划分

eq 3

。这种情况需要特殊处理，并将导致更复杂的算法

一个值得尝试的想法是将代码> Q>代码>，即代码> P-1 < /代码>作为素数的乘积，并逐个考虑这些素数。拿一个，说

t^e

。我们知道，

t^e

必须除以阶乘

。因此，它也必须分割等式3的右侧。因此，我们必须在

n，n-1，n-2，…，n-r+1

中寻找足够的因子，这些因子可以被

整除，直到我们用

将

整除。然后我们需要用相应的

的幂替换这些因子的商。对

q=p-1

中的所有素数重复此过程后，我们将在左侧得到

f/q

，在右侧得到新的因子列表。这将是我们的新版

eq 3

。当然，新的

（

=f/q

）也可以被

整除。因此，我们必须重复相同的过程，直到

f mod q

不再

。在这一点上，我们将能够除以并得到

c mod q

的值