Algorithm 如何快速找到最佳投弹区？

我的家庭作业是这样的：

您将看到一幅由四种颜色的像素组成的图像。颜色对应于地形、敌人、盟友和城墙。炸弹可以投到任何坐标（一对整数）。你还可以得到：

• r

  -炸弹的作用半径（以像素为单位，正整数）

• e

  -杀死敌人的点数

• a

  -杀死盟友的点数

（例如

r=10

，

e=1

，

a=-2

）

投下炸弹时，半径（欧几里德距离）内的所有敌人和盟友都将被杀死，除非他们和炸弹之间有一堵墙（即连接士兵和炸弹的非抗锯齿线穿过一堵墙）。当炸弹落在墙上时，该特定像素的行为与普通地形类似。墙的其余部分仍然是一堵墙

你以0分开始。找到你应该投一颗炸弹的坐标，以获得尽可能好的分数。如果存在多个最佳解决方案，请返回其中任何一个

下面是一个裁剪、调整大小并更改颜色以提高可读性的示例图像：

我得到的原始图像可以找到

我已经做了什么 我知道用暴力强迫解决这个问题是一个可怕的解决办法。我想出了一个主意，在没有围墙的情况下如何快速解决它。下面是一些伪代码：

args Map, R, A, E

for (every Soldier)
    create a Heightmap with dimensions of Map
    zero-fill the Heightmap
    on the Heightmap draw a filled circle of value 1 around Soldier with radius R

    if (Soldier is Ally)
        multiply Heightmap by A
    else
        multiply Heightmap by E

add all Heightmaps together
return coordinates of highest point in TotalHeightmap

当然，这个“片段”可以优化，但在这种形式下更容易理解。通过使用墙约束heightmap圆，可以将其扩展为完整的解决方案。绘制圆很简单，许多图像处理库都提供了这样做的功能，因此最好先绘制圆，然后在圆上绘制墙，然后从墙或圆边界的中心开始填充圆。我将在实施时检查性能

在不限制圆圈的情况下，我会这样做：

run the above code to get a TotalHeightmap
create empty PointList

for (every Point in TotalHeightmap)
    create PointObject with properties:
        Coordinates,
        Height,
        WallsFlag = False
    add PointObject to PointList

sort PointList by descending Height

until (PointList[0].WallsFlag == True)
    for (every Soldier in radius R from PointList[0])
        if (Bresenham line connecting Soldier with PointList[0] intersects a Wall)
            subtract (A if Soldier is Ally else E) from PointList[0].Height

    set PointList[0].WallsFlag = True
    sort PointList by descending Height

return PointList[0].Coordinates

只要敌人和盟友的分数都是非负的，它就会起作用，所以它远不是完美的。为了解决这个问题，我可以在所有像素上循环，但这会非常慢（我想不会像暴力强迫那样慢，但听起来不是个好主意）。寻找墙交点的方法似乎也很粗糙

我正在寻找一个更优雅、更快速的解决方案。你将如何解决它？如果有帮助的话，我将用Python和PIL实现它

顺便说一句，我相信我的老师会同意我把这个问题贴在上面，所以，我相信他甚至希望我讨论这个问题，并实施最佳解决方案

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这里有一个部分答案，我希望能引起一些讨论：

解决任何问题的第一条规则是找到一个更容易的问题。在这种情况下，我们可以问：

如果没有墙，什么是好的解决方案

并进一步降低到

如果没有围墙或敌人，什么是好的解决方案

更进一步说,

如果没有围墙或敌人，并且炸弹的半径为1，那么什么是好的解决方案

这相当于说

给定一组点，定位一个单元盘以覆盖尽可能多的点

酷。这感觉像是一个很好的、可靠的、独立于领域的问题，很多人以前肯定遇到过。通过谷歌快速搜索，我们找到了很多相关资源，包括

在这个问题上，公认的答案提供了一个重要的观察结果：如果我们有一个覆盖最大点数的磁盘，我们可以移动该磁盘以获得另一个边缘上至少有两点的磁盘。同样地，如果我们取彼此距离2内的每一对点，并通过这对点构造两个单位圆（对于O（n^2）个圆），那么这些圆中的一个保证包含尽可能多的点

这可以很容易地适应您的问题的“无墙”版本。虽然它将是O（n^3）（可能是O（n^2）个圆，每个圆内可能有n个点），但它可能比典型问题实例中的速度快得多。如果你想聪明一点的话，可以研究一下固定半径最近邻问题（我能找到的最好的论文是，但不幸的是，没有公开的版本）

我们如何才能引入墙呢？如果磁盘与墙相交，我们无法可靠地移动它，使两个点位于边缘，同时保持相同的分数。我会考虑一下，希望其他人也会有一些想法

对任何候选算法进行心理测试的三种场景：

当地图上只有一个“像素”的墙时，找到在单位距离和视线内同时最大化点数的位置

当地图上有一堵单独的直墙时，在单位距离和视线内找到同时最大化点数的位置

当墙壁在地图上形成一个单一的、中空的正方形时，找到在单位距离和视线内同时最大化点数的位置

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我认为你自己建议的算法是一个很好的方法：

• 对于每个敌人/盟友，用给定的墙画出目标可能被炸弹击中的所有位置的部分模糊圆圈

• 将所有这些圆圈与其各自的敌人/盟友成本累积在一起，得分最高的像素就是您的解决方案

您可以做的一个优化是：

• 将敌军目标存储在快速空间数据结构中，如KD树
• 对于每个敌人，找出距离2*r内的相邻敌人数量
• 按其邻居的数量降序排列敌人
• 检查敌人名单，开始