Coq中Peano数的实现

我正在翻阅《软件基础》一书来学习Coq，结果我被卡住了。在这个类型定义中

Inductive nat : Type :=
  | O : nat
  | S : nat -> nat.

当我们将

O

用于定义时，它如何变成

0

Definition pred (n : nat) : nat :=
  match n with
    | O => O
    | S n' => n'
  end.

我只知道，

O

表示自然数，

S

取一个自然数并返回另一个自然数。我不明白的是，当我们定义的

nat

数据类型在

pred

定义中使用时，

O

如何表示

0

？而

sn'

模式匹配如何给我们提供了

n

的前身Peano数

nat

表示通过的自然数。

nat

类型的居民（值）为

O

，

so

，

S（so）

，

S（so））

，…，

S（S（S…O）…

我们将符号

O

解释为自然数零。

S

表示一元表示中的单个“勾号”，即我们将

S

解释为构造函数（与面向对象编程无关），它接受自然数并生成下一个自然数

前置函数 从某种意义上说，

pred

实际上不是一个性能很好的函数

首先，当我们谈论自然数时，没有零的前身。但是Coq中的所有函数都必须返回一个值，因此如果我们想保持

pred

（即

nat->nat

）的类型我们必须对

pred O

做些什么。返回

O

并完成它感觉很自然。这给了我们模式匹配表达式的第一个分支（

O=>O

）

接下来，当我们对表示1的数字调用

pred

时，我们返回什么？让我们回忆一下，我们在Coq中将1写成

so

。这很简单--

pred（so）

应该返回

O

。现在让我们尝试2:

pred（so））

应该返回

so

。你看到这里的模式了吗？如果我们在

O

前面有一堆

S

，我们去掉一个

S

，就这么简单。模式匹配表达式的第二个分支（

sn'=>n'

）就是这样做的：它取a（非零）表单的编号

sn'

，并将其转换为

n'

（当然，不更改原件）

让我举一个例子。让我们一步一步地计算数字3的前身：

pred (S (S (S O)))

展开

pred

的定义，用

S（S（so））

代替

n

：

match S (S (S O)) with
| O => O
| S n' => n'
end

S（S（so））

具有形式

sn'

（它以

S

开头），因此我们采用第二个分支，将

n'

绑定到

S（so）

。我们如何检查我们没有犯错误？如果我们将

n'

的定义替换为

sn'

，我们应该拿回原始的

n

：

sn'

=

S（so））

=

n

现在，我们只返回

n'

：

S (S O)

果然，我们得到了2分

符号 0、

0

和

O

之间有区别。第一个零（0）是自然数零的元级数字（这是我们在元语言中指定零的方式，例如本例中的英语）.

0

是

O

的符号，换句话说，

0

是

O

的语法糖。正如Coq参考手册所说（）：

数字在微积分中没有明确的语义。它们只是可以通过符号机制绑定到对象上的符号（详见第12章）。最初，数字绑定到Peano对自然数的表示（见3.1.3）

很容易说明：

Check 0.                     (* 0 : nat *)
Check 5.                     (* 5 : nat *)
Unset Printing Notations.    (* Print terms as is, no syntactic sugar *)
Check 0.                     (* O : nat *)
Check 5.                     (* S (S (S (S (S O)))) : nat *)

您可以重载数字，下面是一个整数示例：

Set Printing Notations.
Require Import Coq.ZArith.ZArith.
Open Scope Z.
Check 0.                            (* 0 : Z *)
Check 5.                            (* 5 : Z *) 
Unset Printing Notations.
Check 0.                            (* Z0 : Z *)
Check 5.                            (* Zpos (xI (xO xH)) : Z *)

结果：相同的符号可以绑定到不同的术语。Coq定义了一些默认的符号，例如，对于数字等无处不在的事物

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如果您想定义自己的类型来表示自然数（

my_nat

），而

O

和

S

的名称可能不同（如

stop

和

tick

），那么您必须编写一个插件，将Coq数字映射到

my_nat

的术语上（请参阅）.

O

代表一个单一的自然数。@DanielSchepler，这是一个单一的数字

0

？是

S

和

O

是一些变量，我可以用任何东西来代替它们，或者它们在Coq中有特定的含义。因为书上说我们可以用

停止
和
勾选
来代替它们。我的编辑并回答您的问题？请毫不犹豫地提出后续问题。