Coq 直觉定义中令人惊讶的隐含假设

我想弄明白一些让我吃惊的事情。考虑以下两个定义：

Require Import List.
Variable A:Type.

Inductive NoDup : list A -> Prop :=
  NoDup_nil : NoDup nil
| NoDup_cons : forall x l, ~ In x l -> NoDup l -> NoDup (x :: l).

Inductive Dup : list A -> Prop :=
  Dup_hd : forall x l, In x l -> Dup (x :: l)
| Dup_tl : forall x l, Dup l  -> Dup (x :: l).

我的第一直觉是他们说了同样的话（但否定了）。然而，研究表明，它们并不完全相同（）。如果

~NoDup l->Dup l

，则必须是

对于all（ab:a），~ab->a=b

。因此，如果在陈述自己的证明目标时使用

~NoDup

而不是

Dup

，那么对类型

A

的额外假设就会潜入其中

我试图找出这个额外的假设是在哪里引入的，以获得发生了什么的心理模型，所以我下次会亲自去看。我目前的解释是

• 是

  NoDup\u cons

  的

  ~In x l

  参数负责，因为
• 只有当能够证明某个

  x

  与列表中的第一个元素、第二个元素等不同时，才能创建

  ~In x l

  术语

因此，当我销毁一个术语om type

NoDup（:：）

时，我会在u中得到一个术语

~In，它只能为一个类型
a
创建，而
~ab->a=b
必须保持该类型

问：这是一种“非正式”的思考方式，还是有更好的方式来理解它，这样我就不会再次落入那个陷阱

另外，我发现and不是
Dup
，所以可能有些引理比它们需要的弱，因为它们是用
NoDup
而不是
Dup
来表示的。但是，它们可以用
Dup
来表示，因为
~Dup l->NoDup l
我认为从这个例子中可以学到的教训是，在直觉逻辑中考虑否定时需要更加小心。特别是，您的语句“他们说相同的事情（但否定）”在经典逻辑中是有意义的：它表示等价语句
P~Q
或
~pq
。然而，在直觉逻辑中，这两种说法是不等价的，所以你必须更具体地说明这两种说法中哪一种（如果有）是真的

在这种情况下，
NoDup l
确实相当于
~Dup l
。通常不正确的是
Dup l
是一个正常命题（回想一下，如果
~~P->P
，命题
P
称为正常命题，在这种情况下很容易得出结论
P~~P
）。因此，
~NoDup l
相当于
~Dup l
，一般来说，这是一个比
Dup l
更弱的语句

考虑两者之间差异的一种可能方式是：从
Dup l
的具体证明中，可以提取一对索引，使
l
的对应条目相等（由于从
Prop
消除到
Type
的限制，在Coq中不是字面上的函数，但你可以肯定地证明存在这样一对索引的引理）.另一方面，
~NoDup l
的具体证明只是提供了一种方法，可以采用声称的
NoDup l
证明，并从中推导出一个矛盾-从中你不一定能提取任何特定的索引对

（我同意标准库只有
NoDup
而没有
Dup
，这有点奇怪。）
嗯，
NoDup l
确实等同于
~Dup l
——只是
Dup l
一般来说不是一个正常的命题，所以
~NoDup l~~Dup l
并不等同于
Dup l
。