证明Gauss'；Coq中的nat定理

我想证明nat的高斯定理

用简单的（非精确的）语言，它说：如果

a

除以

b*c

，并且

a

的因子都不在

b

中，那么它们都必须在

c

中

Require Import NPeano. 
Theorem Gauss_nat: forall (a b c:nat), gcd a b = 1 -> (a | (b*c)) -> (a | c).

该定理已为整数

Z

定义，请参阅。但是我需要它来进行

nat

。到目前为止，我得到的建议是使用Bezout引理，它指出

Lemma Bezout: forall (a b c:Z), Z.gcd a b = c -> exists u v, u*a+v*b=c.

但是，我不能将它直接用于

nat

s，因为系数

u

和

v

可能是负数，因此它不适用于

nat

有没有另一个证明不使用整数

编辑：

---

正如马克·迪金森在一篇评论中指出的，这个定理和引理已经在柯克的图书馆里了。它们位于

NPeano

，名为

Nat.gcd_bezout

和

Nat.gauss

如果您只是想获得

Nat

的结果，而不是真正避免使用

Z

，您可以在标准库中重新使用证明。下面是一个关于如何继续的草图，依赖于两个辅助引理：

Require Import NPeano.
Require Import ZArith.
Require Import ZArith.Znumtheory.
Require Import Omega.

Close Scope Z_scope.

Lemma Zdiv_Ndiv a b : (a | b) <-> (Z.of_nat a | Z.of_nat b)%Z.
Proof. Admitted.

Lemma Zgcd_Ngcd a b : Z.of_nat (gcd a b) = Z.gcd (Z.of_nat a) (Z.of_nat b).
Proof. Admitted.

Theorem Gauss_nat a b c : gcd a b = 1 -> (a | (b*c)) -> (a | c).
Proof.
rewrite Zdiv_Ndiv, Zdiv_Ndiv, Nat2Z.inj_mul.
intros H1 H2.
assert (H3 : Z.of_nat (gcd a b) = 1%Z) by (rewrite H1; reflexivity).
rewrite Zgcd_Ngcd in H3.
apply (Gauss _ _ _ H2).
now rewrite <- Zgcd_1_rel_prime.
Qed.

需要导入NPeano。
需要进口ZArith。
需要输入ZArith.znum理论。
需要进口欧米茄。
闭合范围Z_范围。
引理Zdiv|ndivab：（a | b）（Z.of|nat a | Z.of|nat b）%Z。
证明。承认。
引理Zgcd_Ngcd ab:Z.of_nat（gcd a b）=Z.gcd（Z.of_nat a）（Z.of_nat b）。
证明。承认。
定理Gauss_natabc:gcdab=1->（a |（b*c））->（a | c）。
证明。
重写Zdiv_Ndiv，Zdiv_Ndiv，Nat2Z.inj_mul。
简介H1H2。
通过（重写H1；自反性）断言（H3:Z.of_nat（gcd a b）=1%Z）。
在H3中重写Zgcd_Ngcd。
应用（高斯H2）。
现在重写你可以证明并使用一个基于nat的Bezout版本：
forall（ab:nat），exists u v，u*a=gcd a b+v*b
。那太完美了！你能用一个基于nat的Bezout的Coq教授给出一个“答案”以及Gauss_nat是如何从中得出的吗？（或者至少，
Bezout_nat
，我能够用它来证明Gauss_nat…）看起来这些结果已经在：寻找
gcd_Bezout_pos
，
gcd_Bezout
，和
Gauss
。证据在这里：谢谢，这很有用——我想人们偶尔会想在Z和nat之间来回借用定理。（必须明确地处理所有Z.to_nat和Z.from_nat和Nat2Z.inj_mul似乎很难看，但它可能比“魔法”转换更好……）