Coq 为什么基于构造语言的微积分如此频繁地使用setoid？

人们发现SETOID广泛应用于Agda、Coq等语言中。。。事实上，像Lean这样的语言认为它们可以帮助避免“Setoid地狱”。首先使用setoid的原因是什么？

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基于HoTT（如cubical Agda）的扩展类型理论是否减少了对setoid的需求？

理想情况下，人们肯定希望能够将任意等价关系视为莱布尼兹等式（

eq

），从而能够在任意上下文中重写。这意味着通过等价关系定义类型的商

我不是这方面的专家，但我也一直在想同样的问题，我认为对setoid的依赖源于这样一个事实，即商在类型理论中仍然是一个不被理解的概念

当我们没有/想要商数类型时，Setoid地狱就是我们被困的地方

我们可以将商类型公理化，我相信（我可能错了）这就是Lean所做的

我们可以发展一种类型理论，它可以自然地表达商，这就是HoTT/Cubical TT对更高归纳类型所做的

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此外，商类型（或我对它们的天真想象）迫使我们以一种可能不太理想的方式将程序和证明打包在一起：两种商类型之间的函数是一个普通函数，并证明它尊重潜在的等价关系。虽然从技术上讲可以做到这一点，但编程和证明的这种交错可以说是不可取的，因为它使程序无法读取：人们常常试图将程序和证明保持在两个完全不同的世界中（因此要求集合，将类型与其等价关系分开），或者更改一些表示，使程序和证明是一个相同的实体（因此我们可能甚至不需要首先明确说明等价性）。

正如李耀霞的回答所描述的，setoid在我们没有或不想使用商时使用

在霍特书和精益书中，商数（基本上）被公理化了。Lean和HoTT book的一个区别是后者有更多更高的归纳类型，Lean只有商和（常规）归纳类型。如果我们只是把注意力限制在商数上（在HoTT书中设置商数），它在精益和HoTT书中的作用是一样的。在这种情况下，您只需假设给定类型

a

和

a

上的等价

R

，您就有一个商

Q

，和一个函数

[-]：a→ Q

带有属性

∀ xy:A，rxy→ [x] =[y]

。它具有以下消除原理：构造函数

g:Q→ X

对于某些类型的

X

（或HoTT中的hSet

X

），我们需要一个函数

f:a→ X

这样我们就可以证明

∀ xy:A，rxy→ fx=fy

。这是计算规则的一部分，表示

∀ x:A，g[x]≡ f x

（这是Lean和Book HoTT中的定义等式）

这个商的主要缺点是它破坏了规范性。正则性表示，自然数中的每个闭项（即，没有自由变量的项）标准化为零或某个自然数的后续项。这个商破坏规范性的原因是我们可以将

=

的消去原理应用于商中的新等式，这样的项不会减少。在莱恩看来，这并不重要，因为在所有我们关心的情况下，我们仍然可以证明一个平等，即使它可能不是定义上的平等

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立体类型理论有一种奇特的方法，既能处理商，又能保持规范性。在CTT中，相等的工作方式不同，这意味着在保持规范性的同时可以引入更高的归纳类型。CTT的潜在缺点是类型理论要复杂得多，你必须接受HoTT（尤其是放弃证明无关性）。

[李耀霞和弗洛里斯·范多恩的答案都很好，因此我将尝试用额外的信息来补充它们。]

另一种观点认为，尽管商在古典数学中使用得很多，但毕竟可能并没有那么多。不取商而是坚持群胚正是非交换几何的起点！它告诉我们，有些商的行为异常恶劣，我们最不想做的事情（在这种情况下！）就是去做商。但是，如果你使用“正确”的工具来处理它，它本身并没有那么糟糕，甚至相当好

可以说，它也深深地嵌入了所有范畴理论中，在范畴理论中，人们不需要对等价的对象进行商运算。范畴理论中的“骷髅”被认为是低级趣味。严格和其他许多事情也是如此，所有这些都归结为试图压制那些最好保持现状的事情，因为它们根本没有伤害。我们只是习惯于希望“独特性”反映在我们的表达中——这是我们应该克服的

Setoid hell的出现并不是因为必须证明某些一致性（您需要证明它们，以表明您具有适当的等价性，并且每当您在原始表示而不是在商版本上定义函数时，都需要证明它们）。在定义不可能“出错”的函数时，当您被迫一次又一次地证明这些一致性时，就会出现这种情况。所以Setoid地狱实际上是由于未能提供适当的抽象机制造成的

换句话说，如果你做了足够多的简单数学，商数表现良好，那么应该有一些自动化，让你顺利地处理这些问题。目前，在类型理论中，正在进行一项研究，以精确地计算出这可能是什么样子。弗洛里斯的回答很好地概括了一个陷阱：在某个时候，哟