Coq中命题真/假与布尔真/假的区别

布尔值

真

/

假

的定义及其与命题类型

真

/

假

的联系如所述：

谈到

bool

类型，我或多或少了解它们的用途和功能，但

Prop

类型并非如此。这是我困惑的一个很好的例子。如图所示，以下定义无效：

导致“

模式”True”在本子句中是多余的。

”。另一方面，与

bool

类型相同的定义可以很好地编译：

Definition inv (a: bool): bool :=
  match a with
  | false => true
  | true => false
  end.

从模式匹配的角度很好地解释了为什么会发生这种情况：“

False

不是数据构造函数[…]”。事实上，通过检查

True

和

False

，这一点是清楚的：

Print True.
Print False.

然而，在这种情况下，我的问题变成：为什么？如果它们与

true

/

false

不同，那么它们是什么？具体而言：

• 从命题的

  true

  和

  false

  创建布尔值

  true

  和

  false

  的目的是什么，而不是将它们合并到一个基本构造中
• 如果

  Prop

  versions

  True

  /

  False

  与

  bool

  versions

  True

  /

  False

  的含义不同，那么它们的实际含义是什么？与布尔变量相比，它们应该表示什么

---

让我回答你的不同问题。 首先，在模式匹配中

Definition inv (a: Prop): Prop :=
  match a with
  | False => True
  | True => False
  end.

Coq告诉您它是多余的，因为它将

False

和

True

解释为将被绑定的变量。实际上，

True

和

False

无法匹配，因此它假定您的意思是命名变量

True

或

False

。 此代码相当于

Definition inv (a: Prop): Prop :=
  match a with
  | x => True
  | y => False
  end.

然后您可以看到为什么

y

是多余的：您说的是将任何值匹配到

True

，将任何值匹配到

False

---

我认为你最大的困惑是认为

True

和

False

应该与

True

和

False

的意思相同。简单的回答是：除了名字之外，没有任何关系
实际上

True

和

False

比

True

和

False

更接近

bool

：它们是（数据）类型。

True

是只包含一个元素的类型，

False

是空类型，没有居住者

Inductive True : Prop :=
| I : True.

Inductive False : Prop :=.

（诚然，

False

的定义可能有点奇怪，但它实际上说它是一种没有构造函数的类型。）
相比之下，

bool

是一种包含两个元素的类型：

true

和

false

。 因此，您可以使用

h:True

，它是

True

的证明，但不是

x:True

，因为

True

不是一种类型，而是一段数据
可以观察数据（模式匹配），但不能观察数据类型
我真的想坚持认为

true

和

false

不是

true

和

false

的变体

true

和

false

只是位，除了如何使用它们之外，它们实际上没有任何意义<另一方面，code>True和

False

具有非常精确的含义

True

是始终可证明的平凡命题，

False

是永远不可证明的命题，具有

h:False

表示矛盾

False

的消除原则说明了如何使用它：

False_rect : ∀ P : Type, False → P

---

它说你可以从

False

的证明中得到任何东西。这个问题可能有用：。它激发了bool和Prop之间的差异。

Definition inv (a: Prop): Prop :=
  match a with
  | x => True
  | y => False
  end.

Inductive True : Prop :=
| I : True.

Inductive False : Prop :=.

False_rect : ∀ P : Type, False → P