C# 从笛卡尔坐标到双球坐标映射的奇异符号问题

我想将笛卡尔坐标（x，y，z）映射到双球坐标（sigma，tau，phi）并返回到

以下是我的职能：

public static Vector3 ProjectBisphericalToCartesian(Vector3 bispherical, double a)
{
  var sigma = (double)bispherical.X;
  var tau = (double)bispherical.Y;
  var phi = (double)bispherical.Z;
  var d = Math.Cosh(tau) - Math.Cos(sigma);
  var s = a / d;
  var x = s * Math.Sin(sigma) * Math.Cos(phi);
  var y = s * Math.Sin(sigma) * Math.Sin(phi);
  var z = s * Math.Sinh(tau);
  return new Vector3(
      (float)x,
      (float)y,
      (float)z
    );
}

public static Vector3 ProjectCartesianToBispherical(Vector3 cartesian, double a)
{
  var x = (double)cartesian.X;
  var y = (double)cartesian.Y;
  var z = (double)cartesian.Z;
  var R = Math.Sqrt(x * x + y * y + z * z);
  var s = R * R + a * a;
  var t = 2.0 * a * z;
  var Q = Math.Sqrt(s * s - t * t);
  var sigma = Math.Acos((R * R - a * a) / Q);
  var tau = Asinh(t / Q);
  var phi = Math.Atan(y / x);
  return new Vector3(
      (float)sigma,
      (float)tau,
      (float)phi
    );
}

// sinh^-1 ("areasinus hyperbolicus")
private static double Asinh(double x)
{
  return Math.Log(x + Math.Sqrt(x * x + 1.0));
}

我通过为（x，y，z）和a生成随机数来测试函数，将它们转换为双球坐标并返回笛卡尔坐标，然后检查它们是否等于原始笛卡尔坐标系（高达一些小公差）

结果表明，一些笛卡尔坐标会翻转其x和y分量的符号（z可以），而另一些笛卡尔坐标则不会。例如，{X:-53434y:2569566z:-1195607}翻转X和Y分量的符号，{X:7586471y:-6154929z:149478}工作正常

很遗憾，我在代码中找不到错误。 问题似乎是由原始笛卡尔坐标中的负x值引起的，这将导致x和y的符号在转换后翻转并返回。我只是不明白为什么会这样

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有人知道这里发生了什么吗？

好吧，我实际上没有答案给你，但也许只要我们齐心协力，我们就能做到

首先，在我看来，你确实正确地转录了维基百科的公式。那么这是一个什么样的问题呢？要么数学函数与Wikipedia中引用的函数的作用不完全相同，要么Wikipedia中存在错误

我猜数学中的方法不会有不同的定义。这些功能已经存在很长时间了，非常传统。也许维基百科错了

您的错误类型是符号错误。所以你应该看看当一个或两个输入信号改变时会发生什么。例如，如果我们翻转x的符号，那么phi的符号在转换为双球面时会发生变化（移动180度）。相应地，在笛卡尔坐标的转换中，如果我们翻转φ的符号，那么x的符号会因为cos（φ）而改变

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然而，如果我们翻转x和y的符号，那么φ的符号不会改变。其他双球计算也没有改变，因为它们在平方运算中只使用x和y。另一方面，如果我们在转换为笛卡尔坐标时改变φ的符号，x和y的符号确实会改变。因此，笛卡尔坐标系中有两个点映射到相同的双球坐标，而两个对应的双周坐标则映射回不同的笛卡尔坐标。似乎你需要在x和y到φ的转换中引入一个符号。（或者，可以想象，在另一个双球坐标中有一个符号，以弥补在φ中缺少符号。）

好的，我知道了。Wolfram提到了一些关于半平面的事情，所以我想到用Atan2（y，x）而不是Atan（y/x）可以解决这个问题，它确实解决了。

关于数学函数的不同，我完全同意：我不认为会发生这种情况，因为它们非常标准。此外，我对（x，y，z）的所有+/-1组合进行了双重检查，并且它仅在x为负时交换x和y的符号，而不考虑y或z的符号。关于你的想法，笛卡尔坐标系中的两个点映射到双球坐标系中的同一点，我认为情况不应该是这样，因为它应该是一对一的映射（没有双重覆盖或类似的东西）。双球面空间是正交的，与笛卡尔坐标一样包含3个坐标。有趣的是，负y对φ的影响应与负x对φ的影响相同。但是，该错误仅出现在负x上，而不出现在负y上。世界跆拳道联盟？！因此（+1，+1，+1）和（-1，-1，+1）以及（+1，-1，+1）和（-1，+1，+1）映射到相同的双球坐标（因此在映射回时无法区分）。现在我想知道，这是维基百科中的一个错误，还是我误解了这些坐标的概念，认为它们是唯一可以相互映射的。我同意两个笛卡尔点不应该映射到同一个双球点。我想说的是，如果你看维基百科上从笛卡尔坐标到双球面的转换公式，看起来这些公式确实将两个不同的笛卡尔点映射到同一个双球面点。特别是，如果x和y都是正的vs，则将两个都关闭为负。换句话说，维基百科公式似乎是错误的。我认为有必要在维基百科公式中引入符号因子。