Floating point 如何正确计算以度为单位的四舍五入三角函数？

我如何定义以度而不是通常的弧度为参数的三角函数，并为这些参数计算正确的四舍五入结果

将参数乘以

M_PI/180.0

，然后再将其传递给相应的函数（以弧度为单位），这样做不起作用，因为

M_PI/180.0

不是π/180。《浮点运算手册》第5.5节提供了一种计算参数的正确四舍五入乘积π/180的方法，但有些参数仍然会使该乘积接近两个连续可表示浮点之间的中点，然后，即使应用弧度中正确的四舍五入函数，也会产生错误的最终结果

两种可能单独或组合工作的策略是使用更高的精度，并使用分别计算sin（πx），

cospi

，

tanpi

三角函数的

sin（πx）

，

cos（πx）

和

tan（πx）

对于后一种策略，仍然存在除以180的问题，这对于许多论点来说并不准确

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关于更高精度策略（将参数乘以π/180的扩展精度表示，然后应用弧度的扩展精度函数），在“精确”情况下可能仍然存在问题。该定理表明，在

0

中，有理参数的

sin

、

cos

和

tan

的唯一有理结果仅适用于弧度版本。它显然不适用于度数版本，如果对于某些浮点输入x，sindeg（x）正好是两个连续可表示的浮点数之间的中点，那么中间精度不足以保证最终结果正确舍入。

这很困难。从积极的一面来看，您可以将参数精确地减少到+/-45度。因此，您需要在+/-45度之间正确舍入结果。对于非常小的x，sin（x）约为x*（π/180），其硬度足以精确地四舍五入

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例如，为了获得正弦函数的最正确的四舍五入结果，取-45唯一的有理数

q

，其中

cosdeg（360q）

是有理数，其分母为1、2、3、4或6。Joerg Jahnel在第6节用场论给出了一个简短而漂亮的证明。（事实上，作者使用Euler的toticent函数描述了代数数

cosdeg（360q）

的阶数。）因此不存在浮点

q

，因此

cosdeg（360q）

位于两个相邻浮点数的中间

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所以我猜答案是“与你实现sin和friends的方法大致相同”，尽管@gnasher729提出了一个很好的观点，即度的参数化简要好得多。

这是一个很难回答的问题。让我澄清几点：

• 输出所需的精度是多少？是IEEE 754单精度还是双精度还是非标准？此外，我假设输入，即以度表示的输入，应以与输出相同的精度表示，因为这是正常弧度输入的情况
• 你的绩效指标是什么？CRlibm经过优化以产生正确的四舍五入双精度结果。另一方面，MPFR用于任意精度，但当您只需要双精度输出时，它比CRlibm慢得多
• 你的工作范围是什么？i、 e.[最小参数，最大参数]？这对CRlibm很重要，因为它适用于双精度范围。然而，这对MPFR来说并不重要

我基本上建议使用MPFR，如果您必须只使用度输入。让我提醒你们，任何以度为单位的参数，当它乘以（π/180）时，就会产生一个超越数。然而，传递给三角函数的是四舍五入的浮点表示，最好四舍五入到最接近的整数，以达到工作精度

我建议您采取以下措施：

使用MPFR，尽可能使用C库，因为它提供了比其绑定更好的性能

将MPFR精度设置为远高于目标精度。例如（目标精度+300）。通过这样做，可以避免操作的准确性损失（（参数*Pi）/180）。 这可以通过MPFR\u set\u default\u prec（）在MPFR C库中轻松完成

执行以下操作：X_n=（参数*Pi）/180，然后执行Sin（X_n）或任何您想要的函数。MPFR中有一个常数Pi，在您的工作精度范围内表示

将结果四舍五入到目标精度

Muller的“基本函数”从统计学上表明，如果工作精度略大于目标精度的两倍，则大多数（并非所有）硬案例都正确舍入。但在您的情况下，由于输入在理论上是超越的，为了安全起见，以牺牲性能为代价，使工作精度远远高于目标。事实上，如果您需要高达两倍精度的最终结果，10倍完全足以满足几乎100%的情况

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如果您需要低精度，即单精度或更低精度，可以进行详尽的测试，以确定最低的工作精度，从而正确地四舍五入所有案例。

您首先需要检测准确的案例，这已经得到了回答。现在，对于其他情况，有一个众所周知的问题，那就是桌子制造商的困境。如果您的算术具有固定（且较小）精度，并且您希望在可能需要的中间精度上有一个经过认证的界限，则有两种已知的解决方案：

• 根据Nesterenko和Waldschmidt定理获得一个界，如我的博士论文第4.3节所述（顺便说一句，我想这也会给出确切情况的形式）。日分