组定义的Haskell typeclass上的约束

我为a提出了这个类型类定义，但我发现了一个反例类型，它实际上不是一个组

下面是类定义和组的实例ℤ₂:

class Group g where
  iden :: g
  op :: g -> g -> g
  inv :: g -> g

data Z2T = Z0 | Z1

instance Group Z2T where
  iden = Z0
  Z0 `op` Z0 = Z0
  Z0 `op` Z1 = Z1
  Z1 `op` Z0 = Z1
  Z1 `op` Z1 = Z0
  inv Z0 = Z1
  inv Z1 = Z0

但是，

组

的这些类型签名是必要的，但不足以使类型真正成为组，下面是我编译的反例：

data NotAGroup = N0 | N1

instance Group NotAGroup where
  iden = N0
  N0 `op` N0 = N0
  N1 `op` N0 = N0
  N0 `op` N1 = N0
  N1 `op` N1 = N0
  inv N0 = N0
  inv N1 = N0

---

在Haskell的

group

typeclass中，我如何编码一个类型成为一个组的足够规则？

您是对的，可以编写违反组法则的

group

typeclass的实例，因为实际上代码中没有任何东西真正说明它们

这与

Monad

类的情况相同，在该类中，一元法则没有以任何方式编写或执行。您可以编写非法的

Monad

实例，就像您可以编写非法的

Group

实例一样

这实际上是在Haskell中可以得到的最好结果，至少不会太多地增加类型签名的复杂性。事实上，要在类型中表达群法则，您可能需要一种完全依赖类型的语言，而Haskell不是

---

在这样的情况下，法律通常是用注释来写的，可能被称为重写规则，程序员通常有足够的纪律来尊重它们

你不能强制执行这些法律，但你可以记录它们。例如，

Monoid

类记录了任何

Monoid

实例都应该遵守的四条定律：

-- | The class of monoids (types with an associative binary operation that
-- has an identity).  Instances should satisfy the following laws:
--
--  * @mappend mempty x = x@
--
--  * @mappend x mempty = x@
--
--  * @mappend x (mappend y z) = mappend (mappend x y) z@
--
--  * @mconcat = 'foldr' mappend mempty@

群只是一个具有额外逆运算的幺半群。使您的

组

类成为

幺半群的子类

；然后，您只需要记录逆运算必须遵守的附加定律

class Monoid g => Group g where
  ginverse :: g -> g
  -- ginv must obey the following laws
  -- x `gappend` (ginverse x) == gempty
  -- (ginverse x) `gappend` x == gempty

-- g-prefixed synonym for mappend
gappend :: Group g => g -> g -> g
gappend = mappend

-- g-prefixed synonym for mempty
gempty :: Group g => g
gempty = mempty

---

这需要依赖类型（例如在Agda中找到，但在Haskell中不存在）或一些Hasochistic类型级别的黑客。这两种方法都不太方便，因为它们会迫使您提供您定义的每个实例的“群体性”证明。编译器不会为您完成证明义务（尽管在有限的情况下，某些模板Haskell可能会为您生成这样的证明）。您不能。对不起，你可能需要调查一下Coq。它是一种依赖类型的编程语言，也被设计用来断言和证明有关程序的定理。它的总体设计有点类似于“扩展”Haskell，但语法有点不同。以下是我如何开始Coq（我在这里也证明了你的反例确实不是一个群体）：。Coq还附带了一个工具，可以从已验证的Coq代码中提取Haskell代码（因此您可以在Coq中验证它，然后生成正确代码的Haskell版本）。通过使用

组g

约束并设置

gappend=mappend

将

gappend>移动到typeclass之外有什么害处？这样，它不可重写，但其行为类似于
mappend
。我看不到：）