Java 非均匀权重集的绘图实现

我想讨论如何以最佳方式实施以下内容：

给定一组元素

它们都是不同的。调用此输入集

N

，它的大小为

N

。这些元素各有一个权重。现在，您需要创建大小为

R

的

N

的子集（

R

），其中

R

小于或等于

N

。 这个子集同样不能包含重复。

R

的每个元素都需要从

N

中随机选择，如果某个元素的权重更高，则其被选择的几率也需要更高。如果

N

中所有元素的总重量为

W

，则选择元素

i

的几率需要为

W\u i/W

最后一个细节是权重很容易改变，但只会增加，而不会减少

我想要一个简洁的实现。我在Java中工作，但我希望找到一些有趣的与语言无关的属性或细节（甚至是伪代码）

现在，对于我自己的解决方案：我创建一个原始元素集的

数组列表。我确保权重是自然数，如果元素的权重是
n
，我将它们加上
n
。然后我洗牌数组列表（
collections.shuffle
），并继续从洗牌列表中提取元素并将它们添加到Java
Set
，直到集合的大小为
r
。如果一个元素的权重增加，它会被添加到原始数组列表中更多的次数。再次洗牌，创建一个新子集

我的实现需要大量内存，如果集变大，洗牌的速度也会变慢。有更好的主意吗？
首先，让我们把它简化为只画一个元素，你可以计算

sum[-1] = 0
sum[i] = sum[i-1] + weight[i]

然后，您只需在范围
[0，sum）
中绘制一个数字
r
，然后对
r
进行二进制搜索。它所处的范围就是您绘制的数字。

这是
O（n）
时间解决方案

显然，您可以对更多元素执行此操作，但您必须从集合中删除已选择的元素，或重复此操作，直到选择新项。但是，对于较大的子集，这两种解决方案都会退化为二次复杂度：(

但是，我们能改进它，使之做得更好吗？

是的。使用二元搜索树而不是数组。二元搜索树实际上是的一种变体，其中不是存储
#children（v）
，而是存储每个子树中的权重之和。除此之外-这基本上与顺序统计树保持相同

有关树解决方案的更多信息，请参见类似问题的答案：

构建树的复杂性是
O（nlogn）
，每个查询+删除都是
O（logn）
，这将为您提供
O（nlogn+klogn）=O（nlogn）

因此，我们有两个选择：

如果
o（logn）
中的
k
（此处），则更喜欢在每个查询中使用
o（n）
时间重新创建数组。否则，您应该更喜欢（在时间复杂度方面）
o（nlogn）
基于树的解决方案。

就空间而言，两种解决方案在所需的额外空间量上都是线性的


这甚至可以通过一次传递做得更好。这被称为。它的主要缺点是由于指数部分（至少从我的经验来看）导致的较大权重的数值问题导致不稳定

此解决方案以线性时间运行，具有
O（1）
额外空间（如果不包括大小为
k
的输出数组）