Language agnostic 可施工点的坐标能否准确表示？

我想写一个程序，让用户像用直尺和指南针一样画点、线和圆。然后我想回答这个问题，“这三个点是共线的吗？”为了正确回答，我需要在计算点时避免舍入误差

这可能吗？如何表示内存中的点

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（我查看了一些不寻常的数字库，但我没有发现任何声称提供精确算术和保证终止的精确比较的东西。）

如果网格轴是整数值，那么答案是相当直接的，这些点要么是完全共线的，要么不是

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然而，通常情况下，我们使用实数（也就是浮点数），然后在屏幕上绘制整数空间中的舍入值。在这种情况下，您别无选择，只能选择公差并使用它来确定共线性。保持较小，用户将永远不会知道差异。

我认为唯一可行的方法是使用符号表示， 与试图直接表示坐标值相反——因此 为了避免将像sqrt（2）这样的值强制转换为某种数字格式。你会 处理非有限二进制表示的无理数，

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十进制或任何其他位置符号。

我建议不要尝试使其完全精确

第一个原因是你在这里要问的，舍入误差和所有浮点计算带来的东西

第二个问题是，当鼠标和屏幕处理整数时，必须对输入进行四舍五入。所以，最初所有的用户输入都是整数，而您的输出都是整数

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旁边，从可用性的角度来看，它更容易点击另一个点的邻域（例如在一行中），并且界面认为你在点本身点击。

在<>强> Jim Lewis < /St>的回答略微扩展，如果要对可通过精确算术从整数构造的点进行运算，则需要能够对以下形式的表示进行运算：

a + b sqrt(c)

其中a、b和c是有理数，或者是上述形式的表示。关于什么样的点是可构造的，有一篇相当不错的文章

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用这种表示法回答完全相等的问题（建立共线所必需的）是一个相当棘手的问题。

如果你试图比较点的坐标，那么你就有问题了。暂时撇开共线性不谈，看看两点是否相同如何

假设一个给定了坐标，另一个是从其他坐标开始的罗盘直尺构造，你想要确定它们是否是同一点。无论哪种方法都是欧几里德几何的一个定理，它不是你可以测量的东西。你可以通过发现它们坐标上的一些差异来证明它们是不同的（例如，计算每个坐标的小数点，直到你遇到差异为止）。但一般来说，用近似方法无法证明它们是相同的。计算

1/sqrt（2）

和

sqrt（2）/2

的一些展开式的任意小数位数，你可以证明它们非常接近，但你永远无法证明它们相等。这需要代数（或几何）

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同样，为了证明三点是共线的，你需要定理证明软件。用点的结构表示点A、B、C，并试图证明定理“A、B、C是共线的”。这是非常困难的-您的程序将证明一些定理，但不会证明其他定理。更简单的方法是要求用户证明它们是共线的，然后验证（或反驳）该证明，但这可能不是你想要的。

实际上，你似乎在问，“计算机使用的普通数学（整型或浮点型）能完美地表示实数而没有舍入错误吗？”当然，还有，答案是“不”。如果你想要理论上的正确性，那么你将被困在更难的问题上，即符号操作和编码几何推理的等价物。（简而言之，我同意上面Steve Jessop的观点。）

一般来说，可构造点可能具有任意复杂的符号形式，因此必须使用符号表示来精确地处理它们。正如Stephen Canon在上面提到的，你们经常需要a+b*sqrt（c）形式的数字，其中a和b是有理数，c是整数。这种形式的所有数字在算术运算下形成一个闭合集。我已经写了（见rational_radical1.h）来处理这些数字，如果这就是您所需要的

也可以构造任意数量的根的有理倍数项的和的数。当处理多个单半径D时，数字在乘法和除法下不再闭合，因此需要将它们存储为可变长度有理系数数组。然后，操作的时间复杂度将是项数的二次方

更进一步，您可以构造任意给定数字的平方根，因此您可能具有嵌套的平方根。这里，表示必须是树状结构，以处理根层次结构。虽然很难实现，但原则上没有任何东西阻止您使用这些表示。我不确定可以构造哪些额外的数字，但超过某一点，您的符号表示将足够表达，可以处理非常大的数字类

附录

找到了这个。

是

我强烈推荐，这是一个很好的基本指南

基本上，您需要能够使用-n进行计算