Math 同一平面内具有相同原点的两个三维向量之间的有符号角度

我需要的是位于同一3D平面内且具有相同原点的两个向量Va和Vb之间的有符号旋转角，知道：

包含两个向量的平面是任意平面，不平行于XY或任何其他基数平面

是一个平面法线吗

两个向量和法线具有相同的原点O={0,0,0}

Va-是测量Vn处左手旋转的参考

角度的测量方式应确保，如果平面为XY平面，则Va代表其X轴单位矢量

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我想我应该执行一种坐标空间转换，使用Va作为X轴，Vb和Vn的叉积作为Y轴，然后使用一些2d方法，比如atan2（）之类的。有什么想法吗？公式？

将一个向量交叉到另一个向量中，并进行规格化以得到单位向量

两个矢量之间角度的正弦等于叉积的大小除以两个矢量的大小：

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您可以使用符号获取要签名的角度。要获得角度的符号，请取

Vn*（Va x Vb）

的符号。在XY平面的特殊情况下，这将减少到仅

Va_x*Vb_y-Va_y*Vb_x

让θ为向量之间的角度。设C=Va为叉积Vb。然后

sinθ=长度（C）/（长度（Va）* 长度（Vb））

要确定θ是正的还是负的，请记住C垂直于Va和Vb，指向由θ确定的方向。特别是，C与Vn是平行的。在你的例子中，如果C指向与Vn相同的方向，那么θ是负的，因为你想要左手旋转。快速检查Vn和C点是否在同一方向的最简单计算方法可能是只取它们的点积；如果是正数，则它们指向同一方向

angle = acos(dotProduct(Va.normalize(), Vb.normalize()));
cross = crossProduct(Va, Vb);
if (dotProduct(Vn, cross) < 0) { // Or > 0
  angle = -angle;
}

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所有这些都来自于向量的基本性质。

使用两个向量的叉积来获得由两个向量构成的平面的法线。然后检查该点积与原始平面法线之间的点积，以查看它们是否朝向同一方向

angle = acos(dotProduct(Va.normalize(), Vb.normalize()));
cross = crossProduct(Va, Vb);
if (dotProduct(Vn, cross) < 0) { // Or > 0
  angle = -angle;
}

angle=acos（点积（Va.normalize（），Vb.normalize（））；
交叉=交叉积（Va，Vb）；
if（点积（Vn，cross）<0{//或>0
角度=-角度；
}

您可以通过两个步骤完成此操作：

确定两个矢量之间的角度

θ=acos（Va，Vb的点积）。假设Va、Vb是标准化的。这将给出两个矢量之间的最小角度

确定角度的符号

求向量V3=Va，Vb的叉积。（订单很重要）

如果（V3，Vn的点积）为负，则θ为负。否则，θ为正

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假设Vx是x轴，给定法线Vn，你可以通过叉积得到y轴，你可以将向量Vb投影到Vx和Vy上（通过点积你可以得到Vb到Vx和Vy的投影长度），给定平面上的（x，y）坐标，你可以使用atan2（y，x）得到范围[-pi，+pi]内的角度

高级客户提供了以下解决方案（最初是对问题的编辑）：

解决方案：
新浪=| Va x Vb |/（| Va |*| Vb |）
cosa=（Va.Vb）/（|Va |*| Vb |）
角度=atan2（新浪、cosa）
符号=Vn。（Va x Vb）
如果（sign我当前使用的解决方案似乎在这里丢失了。
假设平面法线已归一化（
|Vn |==1
），则符号角度仅为：

对于从Va到Vb的右手旋转：

atan2（（Va x Vb.Vn，Va.Vb）

对于从Va到Vb的左手旋转：

atan2（（vbx Va.Vn，Va.Vb）

返回范围[-PI，+PI]（或可用atan2实现返回的任何值）内的角度

和
x
分别是点积和叉积

无需显式分支和除法/向量长度计算

解释为什么这样做：让alpha是向量之间的直接角度（0°到180°）和beta是我们正在寻找的角度（0°到360°），使用
beta==alpha
或
beta==360°-alpha

Va . Vb == |Va| * |Vb| * cos(alpha)    (by definition) 
        == |Va| * |Vb| * cos(beta)     (cos(alpha) == cos(-alpha) == cos(360° - alpha)


Va x Vb == |Va| * |Vb| * sin(alpha) * n1  
    (by definition; n1 is a unit vector perpendicular to Va and Vb with 
     orientation matching the right-hand rule)

Therefore (again assuming Vn is normalized):
   n1 . Vn == 1 when beta < 180
   n1 . Vn == -1 when beta > 180

==>  (Va x Vb) . Vn == |Va| * |Vb| * sin(beta)

这是一个Matlab代码，用于计算二维或三维两个向量u，v之间的有符号角度。该代码是自解释的。符号约定是在ix和iy（[1,0,0]，[0,1,0]）或iy和iz（[0,1,0]，[0,0,1]）之间输出正+90°

函数thetaDEG=angDist2Vecs（u，v）
如果长度（u）==3
%3D，可以使用十字来解析符号
uMod=sqrt（总和（u.^2））；
vMod=sqrt（总和（v.^2））；
uvPr=总和（u.*v）；
Costeta=最小值（uvPr/uMod/vMod，1）；
thetaDEG=acos（costheta）*180/pi；
%解析符号
cp=（交叉（u，v））；
idxM=find（abs（cp）=max（abs（cp））；
s=符号（cp（idxM（1））；
如果s<0
thetaDEG=-thetaDEG；
结束
elseif长度（u）=2
%2D使用atan2
数据=（atan2（v（2），v（1））-atan2（u（2），u（1）））*180/pi；
其他的
错误（'u，v必须是二维或三维向量'）；
结束
还有-是的，我知道“acos（Va.Vb）”但是，由于余弦的性质，它总是给出积极的结果。你能解释一下Va吗？它平行于Vn吗？Vn是平面的法向量，所以它垂直于Va和Vb-Vn最初是已知的。这个问题的任务被简化了。在这种特殊情况下，Vn是唯一一个最初与r一起已知的向量然后将旋转矩阵R.Va计算为Vn和基数向量之一的叉积：Va=normalize（vnx{0,1,0}）；不需要除以
（|Va | | Vb |）
对于
sin
和
cos
。
atan2
的工作方式是分母抵消。我猜这是针对二维向量，而需要针对三维向量。两个三维向量所属的平面与XY不平行，因此仅使用x和y分量
tan(beta) = sin(beta) / cos(beta) == ((Va x Vb) . Vn) / (Va . Vb)

function thetaDEG = angDist2Vecs(u,v)

if length(u)==3
    %3D, can use cross to resolve sign
    uMod = sqrt(sum(u.^2));
    vMod = sqrt(sum(v.^2));
    uvPr = sum(u.*v);
    costheta = min(uvPr/uMod/vMod,1);

    thetaDEG = acos(costheta)*180/pi;

    %resolve sign
    cp=(cross(u,v));
    idxM=find(abs(cp)==max(abs(cp)));
    s=sign(cp(idxM(1)));
    if s < 0
        thetaDEG = -thetaDEG;
    end
elseif length(u)==2
    %2D use atan2
    thetaDEG = (atan2(v(2),v(1))-atan2(u(2),u(1)))*180/pi;
else
    error('u,v must be 2D or 3D vectors');
end