Math 求解包含digamma函数的方程组最有效的方法是什么？

求解涉及digamma函数的方程组最有效的方法是什么

我有一个向量v，我想解一个向量w，这样对于所有I：

digamma（sum（w））-digamma（w_i）=v_i

及

w_i>0

我找到了gsl函数gsl_sf_psi，这是digamma函数（使用某种级数计算）。有一个恒等式可以用来简化方程吗？使用解算器是我的最佳选择吗？我正在使用C++0x；哪种解算器最容易使用且速度最快

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从我的初步研究来看，digamma不容易可逆（搜索逆digamma会给出通过二进制搜索工作的算法），因此整个系统不会简化是有意义的

因此，使用解算器现在会留下两个问题：处理digamma计算速度非常慢的事实，以及处理w_i>0的限制，否则digamma（w_i）将在w_i=0时崩溃

对于第一个问题，我想也许我应该为最近计算的digamma值实现一个缓存——我认为这是一个好主意，但对根查找算法的工作原理知之甚少

我的想法是解决第二个问题，找到w''u i=log（w'u i）。那样的话，我就全完了。我不知道这是不是个好主意。可能没有直接查找digamma（exp（w'））的函数？此外，该算法可能会在w'空间中采取步骤，而不会改善情况，因为从w'->w的映射会失去一些精度，因此w'的两个元素可能映射到同一个w

仍然存在找到一个好的、快速的寻根算法的问题。我想我可以在另一个问题中问这个问题

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谢谢…

我建议使用解算器将是最好的主意，主要是因为考虑各种方程的各种稳定性和收敛区域可能很棘手，重新设计轮子是没有用的。虽然我从未真正解决过像您提到的那样的系统，但我认为以下库之一很可能有您想要的解决方案：

• 当然，你可以在谷歌上搜索更多内容：）[这些是我熟悉的]

另外，如果这两个都不是您想要的，您可以看到GNU Octave或类似的东西是如何解决系统的，然后阅读他们的文档，了解他们用于实现解决系统所需的函数的算法。从这里开始，更多的是了解如何使用算法，如何实现算法，以及在哪些情况下值得（Octave、Matlab、Mathematica的文档非常全面，列出了在大多数情况下定义了算法的出版物），也有ScILAB和SageMath，如果你正在寻找开源/免费的替代品，并且有办法从C++中使用这些例程（但我不确定这将是多么容易或困难）

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希望这能有所帮助。

不确定，但您是否能获得更好的答案，然后再回来这里询问有关算法的具体问题？感谢您抽出时间回答。我已经更新了这个问题。尼斯，谢谢你对这个问题的更新，让我了解了如何解决这些系统，以及我可以预期的问题。顺便说一句，我相信您已经知道这一点，但GSL也有根查找算法：）