Math 模数学化为余数模

我需要一些关于模的帮助。我在书中看到了这个例子，不明白我的教授是怎么得到它的。有人能给我解释一下这是怎么回事吗

2^345=（2^5）^69=32^69=1^69=1（mod 31）

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=符号是同余符号。

实际上，只有第三个符号需要同余：2^345=（2^5）^69（因为n^（a*b）=（n^a）^b）；2^5当然是32；对于所有n，1^n=1

那么，为什么32^69~=1^69（使用~=作为“与一致”）

简单

32 ~= 1 mod (31) =>
32 = (n*31)+1    =>
32^p = ((n*31)+1)^p
     = (n*31)^p + a*1*(n*31)^(p-1) + b*(1^2)*(n*31)^(p-1) + ... + 1^p for some a,b...
     = (n*31)*z + 1 for some z
    ~= 1 (mod 31)

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因此，一般来说，如果

a~=b（mod p）

那么

a^n~=b^n（mod p）

注意，32 mod 31=1这是由于一个非常简单的同余：（a*b）（mod c）=（（a mod c）*（b mod c））（mod c）。