Math 具有3个给定点的三维插值（等距）

我正在开发一个3D国际象棋游戏，其中我需要能够计算轨迹的位置X，Y，Z，这个轨迹将描述一条抛物线（用于棋子动画）

因此，对于给定的等距点p1=（x1，y1，z1），p2=（x2，y2，z2）和p3（x3，y3，z3），我需要下面的公式（或一般公式）：

---

对于每个组件<代码> x<代码>，<代码> y和<代码> z >代码>考虑由

定义的单独抛物线。

x(t) = x1 - t*(3*x1-4*x2+x3) + 2*t^2*(x1-2*x2+x3)     //t=0..1
y(t) = y1 - t*(3*y1-4*y2+y3) + 2*t^2*(y1-2*y2+y3)     //t=0..1
z(t) = z1 - t*(3*z1-4*z2+z3) + 2*t^2*(z1-2*z2+z3)     //t=0..1

---

在

t=0

然后

x=x1

，在

t=0.5

然后

x=x2

和

t=1

然后

x=x2

。类似地，对于

y（t）

和

z（t）

如果开始和结束的y值相同，则可以使用参数方程来描述抛物线，该方程可以通过几个步骤导出

给定起始高度和最大高度

y(t) = A(t^2) + B(t) + C
y(0) = startingHeight
y(0.5) = apexHeight
y(1) = startingHeight

y(0) = startingHeight = A*0 + B*0 + C
C = startingHeight
y(t) = A(t^2) + B(t) + startingHeight

y(1) = startingHeight = A + B + startingHeight
0 = A+B
A = -B
y(t) = -B(t^2) + B(t) + startingHeight

y(0.5) = apexHeight = -B(0.25) + B(0.5) + startingHeight
apexHeight = B(0.5 - 0.25) + startingHeight
apexHeight - startingHeight = B(0.25)
B = (apexHeight - startingHeight)/4.0

现在您知道了A、B和C，可以为y编写方法：

function y(startingHeight, apexHeight, t){
    B = (apexHeight - startingHeight) / 4;
    A = -B;
    C = startingHeight;
    return A*t*t + B*t + C;
}

x和z更容易，因为它们只是从开始到结束线性增加：

x(t) = At + B
x(0) = startX
x(1) = endX

x(0) = startX = A*0 + B
B = startX
x(t) = At + startX

x(1) = endX = A*1 + startX
A = endX - startX

x(t) = (endX - startX) * t + startX

（z的公式与x相同-只需将所有x替换为z即可）

现在您可以在时间t找到棋子的3d位置：

function parabola(xBegin, xEnd, zBegin, zEnd, yStart, yApex, t){
    return [x(xBegin,xEnd,t), y(yStart,yApex,t), z(zBegin,zEnd,t)];
}

---

p1、p2和p3位于抛物线上，p2是顶点？很明显！！p1是原点，p2是顶点，p3是终点。如果

p2

正好是顶点，那么问题就过度约束了。你需要把它们看成是抛物线中的三点，我想这篇文章会回答你的问题。你是说《星际迷航》中的3d国际象棋吗？或者它是一个普通的单平板，但渲染为3d？如果电路板是平面的，则方程式更容易推导，例如，

y1==y3

我上一节几何课已经很久了，但是。。。我怀疑（但无法证明）用多项式表示x（t）和z（t）会稍微扭曲抛物线，从侧面看。我想你需要x和z的线性函数来得到一条实际的抛物线。然而，我认为你的方程仍然会给出一个很好的曲线形状，这可能会满足OP的需要。非常感谢，它工作得很好。它非常简单明了。它甚至比我预期的要好，因为我只能通过测试t而不是当前点的X，Y，Z来停止动画。

function x(start, end, t){
    A = (end - start);
    B = start;
    return A*t + B;
}

function z(start, end, t){
    A = (end - start);
    B = start;
    return A*t + B;
}

function parabola(xBegin, xEnd, zBegin, zEnd, yStart, yApex, t){
    return [x(xBegin,xEnd,t), y(yStart,yApex,t), z(zBegin,zEnd,t)];
}