Math 避免随机生成减法问题中的偏差

我正在编写一个Python脚本来生成心算练习的问题。加法和乘法很容易，但我在尝试为减法生成无偏问题时遇到了麻烦

我希望能够指定最小值和最大值，最小值（第一个数字）将是——例如，对于两位数减法，它应该在20和99之间。subtrahand还应该有一个范围选项（比如11-99）。答案必须是肯定的，并且最好在这种情况下至少有10个范围

因此：

• 20分钟<99分钟
• 11
• 答案=分钟数-微秒数
• 答案>=10

当然，所有的数值都应该用作变量

我已满足以下条件：

ansMin, ansMax = 10, 99
subtrahendMin, minuendMax = 11,99
# the other max and min did not seem to be necessary here,
# and two ranges was the way I had the program set up

answer = randint(ansMin, ansMax)
subtrahend = randint(subtrahendMin, minuendMax - answer)
minuend = answer + subtrahend # rearranged subtraction equation

这里的问题是，minuted值几乎都超过50，因为答案和subtrahand是首先生成并加在一起的，只有同时位于范围底部25%的部分才会得到低于50%的结果。（编辑：严格来说，这不是真的——例如，底部1%加上底部49%就行了，不管怎样，百分比是一种不好的描述方式，但我认为这个想法很清楚。）

我还考虑过尝试完全随机地生成minuted和subtrahand值，然后如果答案不符合标准（即，minuted大于subtrahand的值至少大于answerMin，并且它们都在上面列出的标准范围内），则抛出答案，但我认为这会导致类似的偏见

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我不在乎它是否完美，但这太遥远了。我希望minuted值在允许的范围内是完全随机的，subtrawend值在minuted允许的范围内是随机的（如果我想得对，这将偏向于较低的值）。我不认为我真的关心答案的分布（只要它不是荒谬的偏见）。有更好的计算方法吗？

我可以看到你的起始值有几个问题-如果你希望答案总是大于10-那么你需要增加minutedmin，或者减少SubtrahendMin，因为20-11小于10。。。此外，您还将答案最小值和最大值定义为3,9-这意味着答案永远不会超过10

除此之外，我还通过先选择MinEnd值，然后根据它和answerMin选择subtrahend值，获得了一个很好的均匀分布值：

ansMin = 10
minuendMin, minuendMax = 20,99
subtrahendMin = 9;

minuend = randint(minuendMin, minuendMax )
subtrahend = randint(subtrahendMin,(minuend-ansMin) ) 
answer = minuend - subtrahend

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在这种情况下，有几种方法可以定义“无偏见”的含义。我假设你正在寻找的是，从允许的问题空间中，以相同的概率选择每个可能的减法问题。快速和肮脏的方法：

在[x_最小值，x_最大值]中随机选取x

在[y_最小值，y_最大值]中随机选取y

如果x-y 请注意粗体部分。如果你只丢弃y而保留x，你的问题将在x中均匀分布，而不是在整个问题空间中。您需要确保每个有效的x至少有一个有效的y-对于您最初选择的范围，情况并非如此，我们将在后面看到

现在是一个长期的、正确的方法。首先，我们需要找出问题空间的实际大小

允许的减数集由分钟数决定：

x in [21, 99]
y in [11, x-10]

或使用符号常量：

x in [x_min, x_max]
y in [y_min, x - answer_min]

我们可以把它改写为

x in [21, 99]
y = 11 + a
a in [0, x-21]

或者再次使用符号常量

x in [x_min, x_max]
y = y_min + a
a in [0, x - (answer_min + y_min)].

从这一点上，我们可以看到有效的问题只存在于x>=（answer_min+y_min），对于给定的x，有x-（answer_min+y_min）+1个可能的子数

现在，我们假设x_max不施加任何进一步的约束，例如，答案_min+y_min>=0：

x in [21, 99], number of problems:
    (99 - 21 + 1) * (1 + 78+1) / 2
x in [x_min, x_max], number of problems:
    (x_max - x_min + 1) * (1 + x_max - (answer_min + y_min) + 1) / 2

以上是使用算术序列和的公式得到的。因此，您需要在[14740]范围内选择一个随机数。要将这个数字转换为减法问题，我们需要定义问题空间和整数之间的映射。映射示例如下所示：

ansMin, ansMax = 10, 99
subtrahendMin, minuendMax = 11,99
# the other max and min did not seem to be necessary here,
# and two ranges was the way I had the program set up

answer = randint(ansMin, ansMax)
subtrahend = randint(subtrahendMin, minuendMax - answer)
minuend = answer + subtrahend # rearranged subtraction equation

• 1 x=21，y=11
• 2x=22，y=12
• 3x=22，y=11
• 4x=23，y=13
• 5X=23，y=12
• 6X=23，y=11

等等。请注意，当超过一个三角形数字时，x跳1。为了从随机数r计算x和y，最好通过在预计算表中搜索，找到大于或等于r的最小三角形数t；把这个数字写成q*（q+1）/2。然后x=x_min+q-1和y=y_min+t-r

完整程序：

import random

x_min, x_max = (21, 99)
y_min = 11
answer_min = 10

triangles = [ (q*(q+1)/2, q) for q in range(1, x_max-x_min+2) ]
upper = (x_max-x_min+1) * (1 + x_max - (answer_min + y_min) + 1) / 2

for i in range(0, 20):
    r = 1 + random.randrange(0, upper)
    (t, q) = next(a for a in triangles if a[0] >= r)
    x = x_min + q - 1
    y = y_min + t - r
    print "%d - %d = ?" % (x, y)

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请注意，对于大多数问题（约75%），x将大于60。这是正确的，因为对于minuted的低值，subtrahand的允许值较少。

您说您已经让加法正常工作了。假设您对加数/和有类似的限制，您可以重新排列因子，以便：

minuend <= sum
subtrahend <= first addend
answer <= second addend

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min您希望答案>=10还是答案<10，似乎描述和代码之间存在矛盾哎呀，我从一位数减法函数中复制了一半参数。修正。这实际上不会在问题空间中产生均匀分布。低分钟数的问题将被过度呈现。是的，很抱歉值错误--请参阅我的编辑，我无意中从程序的另一部分复制了一半。谢谢！目前我已经介绍了放弃方法，但我对理解计算它的完整方法感兴趣，所以稍后我将查看完整的代码。我实际上是在考虑分钟数在其可能值上的均匀分布，而不关心其他值，但经过思考，我认为这实际上更合适。