Math 求解AVL树中节点数的递推关系？

假设我们有这个递归关系，它出现在AVL树的分析中：

• F1=1
• F2=2
• Fn=Fn-1+Fn-2+1（其中n≥ (三)

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你将如何解决这个递归问题来得到F（n）的一个封闭形式？此数字用于获取高度为n的内部节点的最小数量。

有许多方法可以解决此重复出现的问题，但大多数方法都非常复杂。我认为最简单的方法是展开本系列的几个术语，看看您发现了什么：

• F（1）=1
• F（2）=2
• F（3）=4
• F（4）=7
• F（5）=12
• F（6）=20

如果你看看这个，你会注意到以下几点：

• F（1）=1=2-1
• F（2）=2=3-1
• F（3）=4=5-1
• F（4）=7=8-1
• F（5）=12=13-1
• F（6）=20=21-1

看起来这些项只是从斐波那契级数中减去1的项。特别要注意的是，F3=2、F4=3、F5=5等等。因此，看起来模式是

• F（1）=2-1=F3-1
• F（2）=3-1=F4-1
• F（3）=5-1=F5-1
• F（4）=8-1=F6-1
• F（5）=13-1=F7-1
• F（6）=21-1=F8-1

所以，更一般地说，它看起来像是F（n）=Fn+2-1。我们可以尝试使用数学归纳法将其形式化：

基本情况：

• F（1）=1=2-1=F3-1
• F（2）=2=3-1=F4-1

归纳步骤：假设F（n）=Fn+2-1和F（n+1）=Fn+3-1。那我们就有了

• F（n+2）=F（n）+F（n+1）+1=Fn+2-1+Fn+3-1+1=（Fn+2+Fn+3）-（1+1）+1=Fn+4-1=F（n+2）+2-1

瞧！入职检查合格

那么，我是如何用斐波那契级数来寻找这种模式的呢？好。。。递归定义有点像斐波那契数列的定义，所以我认为它们之间可能有某种联系。观察到一切都是斐波那契数减1，这只是创造性的见解。你可以尝试使用生成函数或其他组合技巧来解决这个问题，尽管我对它们不是很在行

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希望这有帮助

@phs的可能副本-我不认为这是一个副本。这个问题询问如何解决显示AVL树具有低高度的中心递归。链接问题要求在斐波那契数列中生成项的方法。这完全有帮助，Thx。我专注于斐波那契数本身的归纳，但不考虑这两者之间可能存在某种联系。当我复制斐波那契数的解时，我脸上有一个鸡蛋，太愚蠢了。啊哈