Math 计算机如何评估巨大的数字？

如果我在Wolfram Alpha中输入一个值，例如1234567^987878，它可以为我提供许多详细信息。这包括十进制近似值、总长度、最后一位数字等。您如何计算如此大的数字？据我所知，编程语言必须有一种特殊的数据类型才能存储数字，更不用说将其添加到其他内容中了。虽然我可以看到一个人如何处理两个非常大的数字的加法，但我看不到如何计算巨大的数字

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10^2可通过重复加法计算得出。然而，像上面的例子这样的数字需要一个巨大的循环。有人能解释一下如何评估这么大的数字吗？此外，如何创建自定义大数据类型以支持C#中的大数字？例如，

通常有一些库为任意大的整数提供bignum数据类型（例如，将数字

k*n...（k+1）*n-1，k=0..

映射到大小为

n

的机器字，重新定义算术运算）。对于c#，您可能会感兴趣

幂运算可以递归分解：

pow(a,2*b)   = pow(a,b) * pow(a,b);
pow(a,2*b+1) = pow(a,b) * pow(a,b) * a;

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还有一些数论结果产生了特殊的算法来确定大数的性质，而无需实际计算它们（准确地说：它们的全十进制展开）。

要计算有多少位数，可以使用以下表达式：

decimal_digits(n) = 1 + floor(log_10(n))

这使得：

decimal_digits(1234567^98787878) = 1 + floor(log_10(1234567^98787878))
                                 = 1 + floor(98787878 * log_10(1234567))
                                 = 1 + floor(98787878 * 6.0915146640862625)
                                 = 1 + floor(601767807.4709647)
                                 = 601767808

后面的k位是通过执行mod 10^k的幂运算来计算的，这可以防止中间结果变得太大

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近似值将使用（软件）浮点实现进行计算，该实现有效地将a^（987878 log_a（1234567））评估为某个数字a的某个固定精度，从而使算术计算结果良好（通常为2或e或10）。这也避免了在任何时候实际处理数百万位的需要。

我认为答案的一部分在于问题本身：）要存储这些表达式，可以像科学记数法那样分别存储基数（或尾数）和指数。扩展到这一点，您不可能完全计算表达式并存储如此大的数字，尽管理论上可以预测后续表达式的某些属性。我将带您浏览您提到的每一处房产：

十进制近似值：可以通过计算简单的日志值来计算

表达式a^b的总位数可通过以下公式计算 数字=下限函数（1+Log10（a^b）），其中下限函数是小于数字的最接近整数。例如，10^5中的位数为6

最后的数字：这些数字可以通过以下事实计算：线性增加指数的表达式形成算术级数。例如，在装置处；对于7^x的指数，重复7,9,3,1。因此，您可以计算，如果x%4为0，则最后一位数字为1。 我不能说，有没有人能为大的数字创建一个自定义数据类型，但我确信，这个数字不会被计算和存储

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这很容易，你可以自己做

可通过对数获得位数：

我们可以计算

（A=1234567；B=987878）

，在我们的例子中

 `B * log(A, 10) = 98787878 * log(1234567, 10) = 601767807.4709646...`

整数部分+1

（

601767807+1

=601767808）是位数

首先，比如说，五位数也可以通过对数得到； 现在我们应该分析这个过程的分数部分

B*log（A，10）

987878*log（1234567，10）

601767807.4709646…

f=0.4709646…

第一个数字是

10^f

（删除小数点）=29577

最后，例如，可以获得五位数字作为相应的余数：

最后五位=

A^B rem 10^5

A雷姆10^5=1234567雷姆10^5=34567

A^B雷姆10^5=（（A雷姆10^5）^B）雷姆10^5=（34567^987878）雷姆10^5=45009

最后五位数字为45009

您可能会发现

biginger.ModPow

（C#）在这里非常有用

最后

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1234567^98787878=29577…45009（601767808位）

有许多用于此的库，python内置了此功能。您似乎主要关心这些数字的大小，以及像示例中的指数那样进行计算所需的时间。所以我会解释一下

表示法 您可以使用数组来保存大数字的所有数字。更有效的方法是使用32位无符号整数数组并存储大数的“32位块”。您可以将这些数据块视为数字系统中具有2^32个不同数字或字符的单个数字。我在8位Atari800上使用了一个字节数组来实现这一点

做数学 通过循环所有数字，将一个数组的元素添加到另一个数组中，并跟踪进位，显然可以添加两个这样的数字。一旦你知道如何加法，你就可以编写代码来进行“手动”乘法，方法是将数字相乘，将结果放在正确的位置，然后进行大量的加法运算——但软件可以相当快地完成这一切。还有比你在纸上手动使用的更快的乘法算法。纸上乘法是O（n^2），其他方法是O（n*log（n））。至于指数，你当然可以乘以相同的数字数百万次，但是每一次乘法都会使用前面提到的函数进行乘法。有一些更快的方法可以进行求幂运算，所需的乘法要少得多。例如，您可以通过计算（（（x^2）^2）^2）^2来计算x^16，该计算只涉及4次实际（大整数）乘法

在实践中 它是

 `B * log(A, 10) = 98787878 * log(1234567, 10) = 601767807.4709646...`