Matrix 正方形到梯形

我知道将正方形转换为梯形是一种线性转换，可以使用投影矩阵来完成，但是我在理解如何构造矩阵时遇到了一些困难

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使用投影矩阵进行平移、缩放、旋转和剪切非常简单。是否有一个简单的投影矩阵可以将正方形转换为梯形？

a、b、c、d是二维正方形的四个角

a、 b、c、d用齐次坐标表示，因此它们是3x1矩阵

alpha、beta、gamma和delta是二维梯形的四个角

alpha、beta、gamma、delta以齐次坐标表示，因此它们是3x1矩阵

H是您正在寻找的3x3矩阵，它也称为单应矩阵

    h1 h2 h3
H = h4 h5 h6
    h7 h8 h9

H把a，b，c，d映射成α，β，γ，δ，所以你有以下四个方程

alpha=H*a
beta=H*b
gamma=H*c
delta=H*d

假设你知道a，b，c，d和alpha，beta，gamma，delta，你可以解出前面四个方程组中的九个未知数h1，h2，h3，h4，h5，h6，h7，h8，h9

在这里，我刚刚描述了这个问题的一个“原始”解决方案，原则上它是可行的；对于上述方法的详细解释，您可以参见本页，例如，他们将

h9=1

（因为

H

可以仅用8个参数表示），然后在8个未知数中求解由8个方程组成的线性系统。你可以在论文的第二部分找到类似的解释

另一种解释是用射影几何学来校正大卫·奥斯汀（David Austin）在《自然》杂志上的一部相机

Richard Hartley和Andrew Zissermann在《计算机视觉中的多视图几何》第二版的第4章“估计-2D投影变换”中描述了上述方法及其缺点，其中他们还描述了不同和更好的算法；您可以查看此链接，它似乎遵循同一本书

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您可以在本书第15.1.4节“投影变换模型”中找到关于单应性的另一种解释。his中概述了算法15.4：投影变换（单应）的最大似然学习：通过非线性最小化来解决问题。

也许您可以使用四边形？请看我的回答：

然后，您可以完全控制每个点，并可以轻松制作任何四角形状。：）

依赖性最小的Java实现 对于那些知识和时间有限的人来说，在寻找一个快速而肮脏的解决方案时，项目中有一个有效且相当可靠的Java实现

转换正在进行中。它归结为构造和求解矩阵：

/**
*请注意，John Zelle博士帮助我们开发了
*处理解决单应映射所涉及的矩阵。
* 
**/
矩阵A=新矩阵（新双[][]{
{x1，y1，1，0，0，0，-xp1*x1，-xp1*y1}，
{0,0,0,x1,y1,1，-yp1*x1，-yp1*y1}，
{x2，y2，1，0，0，0，-xp2*x2，-xp2*y2}，
{0,0,0,x2,y2,1，-yp2*x2，-yp2*y2}，
{x3，y3，1，0，0，0，-xp3*x3，-xp3*y3}，
{0,0,0,x3,y3,1，-yp3*x3，-yp3*y3}，
{x4，y4，1，0，0，0，-xp4*x4，-xp4*y4}，
{0,0,0,x4，y4,1，-yp4*x4，-yp4*y4}
});
矩阵XP=新矩阵（新双[]]
{xp1}、{yp1}、{xp2}、{yp2}、{xp3}、{yp3}、{xp4}、{yp4}）；
矩阵P=A.solve（XP）；
变换=新矩阵（新双[][]{
{P.get（0,0），P.get（1,0），P.get（2,0）}，
{P.get（3,0），P.get（4,0），P.get（5,0）}，
{P.get（6,0），P.get（7,0），1}
});

用法：以下方法执行最终转换：

public Point2D.Double变换（Point2D.Double point）{
矩阵p=新矩阵（新的双[][{{point.getX（）}，{point.getY（）}，{1}}）；
矩阵结果=变换次数（p）；
double z=result.get（2,0）；
返回新的Point2D.Double（result.get（0,0）/z，result.get（1,0）/z）；
}

矩阵

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Wii互动

贾马

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在实际尝试之后，我得到了一组无法求解的方程。似乎支持这一点——梯形不能通过线性变换由矩形构成。@Marijn您好，您的输入数据是什么？在简单的情况下，我想将（0，0）和（1，1）之间的矩形变换为梯形（0，0）（0，1）（1，a）（1，B），因此a和B是输入参数。如果我解决了这个问题，我得到B=A+1，也就是说，得到的矩阵只会产生平行四边形。起初，我还试图将左边（X=0）点的Y作为一个参数，这使我得到了一个无法求解的系统——尽管可能是我在简化方程时犯了一个错误（我没有太多的实践经验）。关于你提到的平行四边形：关键点是，一旦你知道了

H

，你通常会从

a

到

alpha

，并使用非线性函数<代码>a=[x1，y1,1]α=[x1，y1,1]其中

x1=（x1*h1+y1*h2+h3）/（x1*h7+y1*h8+h9）

和

y1=（x1*h4+y1*h5+h6）/（x1*h7+y1*h8+h9）

感谢您的澄清。我试图创建一个3×3矩阵，用于CSS转换规则。据我所见，这种技术在那里不适用。