Algorithm 确定符号是否为第i个组合nCr的一部分

更新： 我最终需要的是组合数学和解列。 下面的链接很有帮助：

问题
给定N个符号的列表，如{0,1,2,3,4…}
以及这些的NCr组合

例如，NC3将产生：

0 1 2  
0 1 3  
0 1 4  
...  
...  
1 2 3  
1 2 4  
etc...  

对于第i个组合（i=[1..NCr]），我想确定一个符号是否是它的一部分。
Func（N，r，i，s）=真/假或0/1
从上面继续 第一个组合包含0 1 2，但不包含3

F(N,3,1,"0") = TRUE  
F(N,3,1,"1") = TRUE  
F(N,3,1,"2") = TRUE  
F(N,3,1,"3") = FALSE  

当前可能有用或相关的方法和技巧。
与矩阵的关系 对于r=2，例如4C2，组合是2D矩阵的上半部分（或下半部分）

    1,2 1,3 1,4  
    ----2,3 2,4  
    --------3,4  

对于r=3，它是3D矩阵或立方体的角 对于r=4，它是4D矩阵的“角”，依此类推

另一种关系
理想情况下，解决方案的形式类似于以下问题的答案：

长度为r的组合列表中的第n个组合（允许重复），可以计算第i个符号
使用整数除法和余数：

n/r^i%r=（0表示第0个符号，1表示第1个符号…等）

例如，对于3个符号中的第6个梳，第0个第一和第二个符号为：

i = 0 => 6 / 3^0 % 3 = 0   
i = 1 => 6 / 3^1 % 3 = 2   
i = 2 => 6 / 3^2 % 3 = 0   

第六个梳子将是0 2 0

我需要类似的东西，但不允许重复

感谢您关注这个问题：

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凯文。

我相信你的问题在于或子集的问题

我将从软件包中用Mathematica为您提供一个实现，但是上面的Google链接可能是一个更好的起点，除非您熟悉语义

UnrankKSubset::usage = "UnrankKSubset[m, k, l] gives the mth k-subset of set l, listed in lexicographic order."

UnrankKSubset[m_Integer, 1, s_List] := {s[[m + 1]]}
UnrankKSubset[0, k_Integer, s_List] := Take[s, k]
UnrankKSubset[m_Integer, k_Integer, s_List] := 
       Block[{i = 1, n = Length[s], x1, u, $RecursionLimit = Infinity}, 
             u = Binomial[n, k]; 
             While[Binomial[i, k] < u - m, i++]; 
             x1 = n - (i - 1); 
             Prepend[UnrankKSubset[m - u + Binomial[i, k], k-1, Drop[s, x1]], s[[x1]]]
       ]

{0, 3, 4}

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产生集合{0，1，2，3，4}的第6个（从0开始索引）长度-3组合。

这个问题有一个非常有效的算法，它也包含在最近出版的：
Knuth，《计算机编程艺术》，第4A卷（第7.2.1.3节）

因为您不关心组合的生成顺序，所以让我们使用组合的字典顺序，其中每个组合按降序列出。因此，对于r＝3，3个符号的前11个组合将是：210、310、320、321、410、420、421、430、431、432、510。这种排序的优点是枚举独立于n；事实上，它是对{0，1，2，…}中3个符号的所有组合的枚举

有一种标准方法可以直接生成给定i的第i个组合，因此要测试符号

s

是否是第i个组合的一部分，只需生成它并进行检查即可

方法 有多少个r符号的组合以特定符号s开始？剩余的r-1位置必须来自s符号0，1，2，…，s-1，所以它是（s选择r-1），其中（s选择r-1）或C（s，r-1）是二项式系数，表示从s对象中选择r-1对象的方法的数量。因为这对所有s都是正确的，第i个组合的第一个符号是最小的s，因此

&总和；k=0s（k选择r-1）≥ 一,

一旦知道了第一个符号，问题就归结为找到第（i-&Sum；k=0s-1（k选择r-1））个r-1符号组合，其中我们减去了以小于s的符号开始的组合

代码 Python代码（您可以更高效地编写

C（n，r）

，但这对我们来说已经足够快了）：

#/usr/bin/env python
tC={}
def C（n，r）：
如果tC.具有_键（（n，r））：返回tC[（n，r）]
如果r>n-r:r=n-r
如果r我已经编写了一个类来处理处理二项式系数的常用函数，这是您的问题所属的问题类型。它执行以下任务：

将任意N选择K的所有K索引以良好格式输出到文件。可以用更具描述性的字符串或字母替换K索引。这种方法使得解决这类问题变得非常简单

将K索引转换为已排序二项系数表中某个条目的正确索引。这种技术比以前发布的依赖于迭代的技术要快得多。它通过使用帕斯卡三角形固有的数学特性来实现这一点。我的论文谈到了这一点。我相信我是第一个发现并发表这项技术的人，但我可能错了

将已排序的二项式系数表中的索引转换为相应的K索引

使用此方法计算二项式系数，它不太可能溢出，并且适用于较大的数字

该类是用.NETC#编写的，它提供了一种通过使用泛型列表来管理与问题相关的对象（如果有）的方法。这个类的构造函数接受一个名为InitTable的bool值，如果为true，它将创建一个通用列表来保存要管理的对象。如果此值为false，则不会创建表。执行上述4种方法不需要创建表。提供了访问器方法来访问表

有一个关联的测试类，它显示了如何使用该类及其方法。它已经过2个案例的广泛测试，没有已知的bug

要阅读有关此类的信息并下载代码，请参阅

这门课可以很容易地应用于你的问题。如果您拥有二项式系数表的秩（或索引），那么只需调用在数组中返回K索引的类方法。然后，遍历返回的数组，查看是否有任何K索引值与您拥有的值匹配。非常简单…
也许可以添加
作业
tag@Amit为什么你认为这是家庭作业？问题交叉张贴在。（所以我在这里交叉发布了我的答案。：p有更多的代码，没有TeX标记。）更新：组合和取消分级最终是我需要的。下面的链接帮助很大：谢谢你的接受。我很高兴这有帮助。
UnrankKSubset[5, 3, {0, 1, 2, 3, 4}]

   {0, 3, 4}