Algorithm 计算mod 10^9+成对和乘积的另一种方法；7比O快（N^2）

给定一个大小为N的整数数组，我想计算

这是过去一次大学间编程竞赛中的一个问题。我们必须编写一个程序来解决这个问题的5个实例，使用N≤200000和每个ai≤200000，在20秒运行时间限制内。显然，O（N2）溶液会超过时间限制。根据研究，预期的解决方案涉及使用快速傅立叶变换的多项式乘法。我正在寻找比没有FFT（或NTT）的朴素O（N2）算法更快的替代算法。这个问题有没有简单而优雅的解决方案

已知事实：

mod可以在产品内部“分发”，因为 （x*y）%m=（x%m）*（y%m））%m

更新： 以下是竞赛期间的输入/输出测试用例文件：如果它在20秒内通过测试，它将被接受。 输入：

---

输出：

已经对其进行了更多的教学，帕斯卡三角形是不可行的，因为它会导致更多的操作。幸运的是，mod操作可以移动到PI下，因此您不需要使用大int，而是使用64位算术（或32位modmul）

PI（ai+aj）mod p==PI（（ai+aj）mod p）mod p。。。1a[i]+a[j]）n'1]）；
z> >=1；y=i；
如果（（y）和（&（z））x=modmul（x，modpow（y，z，p），p）；
}
#ifdef_静态_阵列
#否则
删除[]rle；
删除[]con；
删除[]tmp；
#恩迪夫
返回x；
}

您可以忽略

\u static\u数组

（按未定义的方式处理），这只是为了简化调试。注意卷积

ntt。modmul

不是与任务

p

一起工作，而是与NTTs模一起工作！！！如果您想绝对确定这在更高的

n

或不同的数据分布上有效，请使用64位NTT

下面是关于Edit3方法的讨论：

n=200000
[24527.645 ms] 863132560 O(m^2) RLE(a[i]) -> RLE(a[i]+a[j]) m <= n
[  754.409 ms] 863132560 O(m.log(m)) RLE(a[i])+NTT

---

可悲的是，Karatsuba的开销太大了，所以阈值超过了

n=200000

，这使得它对这项任务毫无用处。

既然

ai，为什么你认为O（n^2）会超过时限。要更详细地解释inteded解决方案，这里是完整社论的链接：（这个问题在最后一页）。@EdHeal Well，根据我在编程竞赛中的经验，自动评委可以在1秒内完成10^6个操作。O（N^2）算法大约需要200000^2=4*10^10次运算。此外，社论说，它将暂停使用一种朴素的O（N^2）算法。除了基于FFT的算法之外，唯一的次二次型替代方法是Karatsuba/Toom-Cook方法。但是那些在多项式时间内运行且不是
O（N log（N））
@Spektre多项式乘法的函数具有
（求和系数输出）=（求和系数输入A）*（求和系数输入B）
的性质，因为系数之和是
N
，所以输出系数之和是
N^2
。由于
N<200000
，
N^2<2^36
。因此，最大系数为<
2^36
，该系数非常适合于双精度

的范围，并且没有发生FFT舍入误差的风险。或者，如果你非常害怕FFT，你可以在一个合适的模上做一个NTT。我也这么想，但有一个问题，它是三角形而不是正方形，所以有20.000.000.000个热，没有代数副本。因此，只会出现数字副本，这意味着您需要检查所有

（n^2）/2

therms，并且只有不做任何操作的虚拟嵌套for循环将花费太多时间（

n=100000

在我的设置中几乎花费了3秒），因此如果您添加任何搜索和计算或表创建，情况会更糟。。。这就是为什么我从一开始就放弃了这种方法：（但这仍然是一个好主意。）+1@Spektre当前位置不要挂在三角形上。找到术语（ai+ai）是O（N），形成对角线，非对角线项ai+aj的重数是平方的一半，因为ai+aj==aj+ai。我想我没有得到素数/因式分解角度。但是，如果有一种快速的方法得到重数，那么将40万次快速幂次的结果相乘听起来远没有40E12次乘法那么可怕es-你在没有提到计数排序的情况下就画了一个，这比我强。@greybeard那么可能是我在测量空

O（n^2）时遗漏了一些东西

for循环已经在超时范围内，没有读取数组之类的功能。我认为这种方法需要遍历所有的数组，或者我遗漏了什么？如果数组被排序，那么我可以看到这是一种方式，但除此之外…@greybeard:更好的是，你只需要处理40000个素数。factorzatio通过查找n是O（1）。

n=10000
[ 749.033 ms] 149252794 O(n^2)        naive
[1077.618 ms] 149252794 O(n'^2)       RLE(a[i])+fast_sqr32
[ 568.510 ms] 149252794 O(n'^1.585)   RLE(a[i])+Karatsuba32
[  65.805 ms] 149252794 O(n'^2)       RLE(a[i]) -> RLE(a[i]+a[j])
[  53.833 ms] 149252794 O(n'.log(n')) RLE(a[i])+FFT
[  34.129 ms] 149252794 O(n'.log(n')) RLE(a[i])+NTT
n=20000
[3084.546 ms] 365847531 O(n^2)        naive
[4311.491 ms] 365847531 O(n'^2)       RLE(a[i])+fast_sqr32
[1672.769 ms] 365847531 O(n'^1.585)   RLE(a[i])+Karatsuba32
[ 238.725 ms] 365847531 O(n'^2)       RLE(a[i]) -> RLE(a[i]+a[j])
[ 115.047 ms] 365847531 O(n'.log(n')) RLE(a[i])+FFT
[  71.587 ms] 365847531 O(n'.log(n')) RLE(a[i])+NTT
n=40000
[12592.250 ms] 347013745 O(n^2)        naive
[17135.248 ms] 347013745 O(n'^2)       RLE(a[i])+fast_sqr32
[5172.836 ms] 347013745 O(n'^1.585)   RLE(a[i])+Karatsuba32
[ 951.256 ms] 347013745 O(n'^2)       RLE(a[i]) -> RLE(a[i]+a[j])
[ 242.918 ms] 347013745 O(n'.log(n')) RLE(a[i])+FFT
[ 152.553 ms] 347013745 O(n'.log(n')) RLE(a[i])+NTT