Algorithm “基本”的大O分析中的不一致性；算法"；

我最近学习了算法的形式化Big-O分析；然而，我不明白为什么这两种算法的运行时间会有很大的不同，这两种算法实际上做的是相同的事情。这两种算法都打印0到n的数字。我将用伪代码编写它们：

Algorithm 1:

def countUp(int n){

    for(int i = 0; i <= n; i++){

        print(n);

    }

}

Algorithm 2:

def countUp2(int n){

    for(int i = 0; i < 10; i++){

        for(int j = 0; j < 10; j++){

            ... (continued so that this can print out all values 0 - Integer.MAX_VALUE)

            for(int z = 0; z < 10; z++){

                print("" + i + j + ... + k);

                if(("" + i + j + k).stringToInt() == n){

                    quit();

                }

            }

        }

    }

}

算法1：
def倒计时（整数n）{
对于
countUp
中的（int i=0；i），循环一次命中[0，n]范围内的所有数字，从而导致运行时间为O（n）

在
countUp2
中，您做了一些完全相同的事情，多次。所有循环的边界都是10

假设有3个循环以10为界运行。因此，外部循环是
10
，内部循环是
10x10
，最内部循环是
10x10x10
。因此，最坏情况下，最内部循环将运行1000次，这基本上是恒定时间。因此，对于
n
有界的循环[0，10]，您的运行时为10^n，这也可以称为常数时间O（1），因为它不依赖于最坏情况分析的
n

假设您可以编写足够多的循环，并且
n
的大小不是一个因素，那么您需要为n的每一个数字创建一个循环。
n
中的位数是
int（math.floor（math.log10（n））+1
；我们称之为
dig
。因此，迭代次数的更严格上限为10^dig（可以简化为O（n）；证明留给读者作为练习）。
在分析算法的运行时时，需要寻找的一个关键因素是循环。在算法1中，代码执行n次，使运行时为O（n）。在算法2中，嵌套循环每次运行10次，因此运行时为O（10^3）。这是因为您的代码对中间循环的每次运行都会运行最内层循环10次，而中间循环对最外层循环的每次运行都会运行10次。因此，代码会运行10x10次。（但这纯粹是一个上限，因为您的if语句可能会在循环完成之前结束算法，具体取决于n的值）.
若要在
countUp2
中最多计算
n
，则需要与
n
中的位数相同的循环数：所以
log（n）
循环。每个循环可以运行
10次，因此总迭代次数为
10^log（n）
，即
O（n）
第一次在O（n log n）中运行时间，因为
打印（n）
输出O（对数n）位

第二个程序假设n的上限，所以O（1）很小。当我们进行复杂度分析时，我们假设编程语言的一个更抽象的版本，其中（通常）整数是无界的，但算术运算仍然在O（1）中执行。在您的示例中，您混淆了实际的编程语言（有界整数）对于这个更抽象的模型（它没有）。如果你重写程序[*]，使它有一个根据n动态调整的循环数（因此，如果你的数字n有k位，则有k+1个嵌套循环），那么它会对每个数字进行一次最内层代码的迭代，从0到n后的下一个10次方（logn）在构造字符串时工作[**]，因此整个程序也是O（nlogn）

[*]您不能使用for循环和变量来实现这一点；您必须使用递归或类似的方法，使用数组而不是变量i，j，k，…，z

[**]这是假设您的编程语言优化了k长度-1字符串的添加，使其在O（k）时间内运行。明显的字符串连接实现是O（k^2）时间，这意味着您的第二个程序将在O（n（logn）^2）时间内运行。
第二个函数可能比第一个函数慢，但它仍应在O（n）时间内运行时间。你是如何得到O（n^10）的？@AtnNn第二个O（n）是怎样的？所有循环都是以10为界的如果你把数字11放入第二个算法中，你会得到输出，“0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,1,2,3,4,5,6,8,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11”这与第一个不同。@DebosmitRay循环也以条件
为界（“”+i+j+k）.stringToInt（）==n
@AtnNn如果我错了，请纠正我。但这不应该影响最坏情况下的运行时间，对吗？如果
n
是循环可以达到的最大值的一倍呢？对于
m
循环，循环在
10^m
处最大，这是一个常量。你的意思是什么？哪里使用
n
作为循环边界？循环边界独立于n@DebosmitRay为了与第一个示例保持一致，我使用了n来解释循环是如何影响分析的。我想我应该使用另一个字母，因为在本例中n用于单独的目的。循环边界是常量。因此使用
n
会引起不必要的混淆。@DebosmitRay Good点。希望编辑后更清楚。是的，先生，我想是。：）好的。我明白了。因为for循环是由一个常数限定的，所以它意味着它只是在O（n）中运行time@dsiegler19不，长官，Big-O分析表明，在最坏的情况下，第二个函数在O（1）中运行。