Algorithm 如何找到计算时间小于O（n）的以下类型的集合？

这里显示了5个不同的集合。S1包含1。考虑以下逻辑，从S1计算下一组S2：

假设Sn包含{a1，a2，a3，a4…，an}，Sn的中间元素是b

然后集合Sn+1包含元素{b，b+a1，b+a2，…，b+an}。元素总数（n+1）。如果一个集合包含偶数个元素，则中间元素为（n/2+1）

现在，如果n作为输入，那么我们必须显示集合Sn的所有元素。 显然，在O（n）时间内解决这个问题是可能的

我们可以将所有中间元素计算为（2^（n-1）-前一个集合的中间元素+1），其中s1={1}是基本情况。这样，O（n）次我们将得到所有中间元素，直到第（n-1）集。所以，第（n-1）个集合的中间元素是第n个集合的第一个元素。（第（n-1）集合的中间元素+第（n-2）集合的中间元素）是第n集合的中间第二元素。这样我们将得到第n个集合的所有元素。 所以它需要O（n）时间

下面是我编写的完整java代码：

public class SpecialSubset {
private static Scanner inp;

public static void main(String[] args) {
    // TODO Auto-generated method stub

    int N,fst,mid,con=0;


    inp = new Scanner(System.in);
    N=inp.nextInt();
    int[] setarr=new int[N];
    int[] midarr=new int[N];
    fst=1;
    mid=1;
    midarr[0]=1;
    for(int i=1;i<N;i++)
    {
        midarr[i]=(int) (Math.pow(2, i)-midarr[i-1]+1);
    }
    setarr[0]=midarr[N-2];
    System.out.print(setarr[0]);
    System.out.print(" ");
    for(int i=1,j=N-3;i<N-1;i++,j--)
    {
        setarr[i]=setarr[i-1]+midarr[j];
        System.out.print(setarr[i]);
        System.out.print(" ");


    }
    setarr[N-1]=setarr[N-2]+1;
    System.out.print(setarr[N-1]);



}

公共类特殊子集{
专用静态扫描仪；
公共静态void main（字符串[]args）{
//TODO自动生成的方法存根
int N，fst，mid，con=0；
inp=新扫描仪（System.in）；
N=inp.nextInt（）；
int[]setarr=新的int[N]；
int[]midarr=新int[N]；
fst=1；
mid=1；
midarr[0]=1；
对于（int i=1；i而言，集合中的最小数字似乎是

其他数字是从第一个数字中通过反向重复添加这些数字获得的

比如说,

S6 = {11, 17, 20, 22, 23, 24}
        +6  +3  +2  +1  +1

使用在该链接中找到的Narayana-Zidek-Capell序列的循环，我成功地为这个问题生成了一个在
O（n）
时间内运行的解决方案。下面是一个Java解决方案。它只适用于
n集合中最小的数字似乎是

其他数字是从第一个数字中通过反向重复添加这些数字获得的

比如说,

S6 = {11, 17, 20, 22, 23, 24}
        +6  +3  +2  +1  +1

使用在该链接中找到的Narayana-Zidek-Capell序列的重复，我成功地为这个问题生成了一个在
O（n）中运行的解决方案
time。这里有一个Java解决方案。它只适用于
n。@Paul Boddington给出了一个答案，该答案依赖于这些集合的第一个数字的序列，即Narayana Zidek Capell数，并检查了它的一些小值。但是，没有证据证明所给出的猜想。这个答案是对上述问题的补充我不是HTML/CSS/Markdown的大师，所以你必须原谅下标的错误定位（如果有人可以改进的话，那就做我的客人）

符号：
设aij为第j组中的第i个数字。

我还将bj定义为
j-2
-th集合的第一个数字。这是证明所涉及的序列，-2用于解释Narayana-Zidek-Capell序列中的第一个和第二个
1

生成规则：
问题陈述并没有阐明什么是偶数长度集的“中间编号”（实际上是一个列表，但不管怎样），但在这种情况下，它们似乎是指“中间右侧”。下面我将用粗体表示规则编号

a11=1
a1n=aceil（n+1/2）n-1
ain=a1n+ai-1n-1
bn=a1n-2
证明：
第一步是通过稍微展开递归并替换
b
，为ain生成一个稍微复杂的公式：

在
[0…i-1]
下，我们考虑两个BN-1的例子，其中代码< n>代码>为奇数，其中代码代码>为偶数。
偶数情况：

b2n+2=a12n=

2=aceil（2n+1/2）2n-1=an+12n-1=

3=a12n-1+an2n-2=

2,4=b2n+1+a12n-1=

5=2*b2n+1

奇数格：

b2n+1=a12n-1=

2=aceil（2n/2）2n-2=an2n-2=

3=a12n-2+an-12n-3=

4=2*b2n+（an-12n-3-a12n-2）=

2=2*b2n+（an-12n-3-an2n-3）=

5=2*b2n-bn

这些规则是精确的序列定义，并提供了一种在线性时间内生成
n
th集合的方法（与依次生成每个集合时的二次方法相反）@Paul Boddington给出了一个答案，这个答案依赖于这些集合的第一个数字的顺序，即Narayana Zidek Capell数，并检查了它的一些小值。然而，没有给出猜测的证据。这个答案是对上述答案的补充，以使其完整。我不是HTML/CSS/Markdown大师，所以你必须原谅下标的错误定位（如果有人可以改进的话，请随意）

符号：
设aij为第j组中的第i个数字。

我还将bj定义为
j-2
-th集合的第一个数字。这是证明所涉及的序列，-2用于解释Narayana-Zidek-Capell序列中的第一个和第二个
1

生成规则：
问题陈述并没有阐明什么是偶数长度集的“中间编号”（实际上是一个列表，但不管怎样），但在这种情况下，它们似乎是指“中间右侧”。下面我将用粗体表示规则编号

a11=1
a1n=aceil（n+1/2）n-1
ain=a1n+ai-1n-1
bn=a1n-2
证明：
第一步是通过稍微展开递归并替换
b
，为ain生成一个稍微复杂的公式：

在
[0…i-1]
下，我们考虑两个BN-1的例子，其中代码< n>代码>为奇数，其中代码代码>为偶数。
偶数情况：

b2n+2=a12n=

2=aceil（2n+1/2）2n-1=an+12n-1=

3=a12n-1+an2n
static Set<Integer> set(int n) {
    int[] a = new int[n + 2];
    for (int i = 1; i < n + 2; i++) {
        if (i <= 2)
            a[i] = 1;
        else if (i % 2 == 0)
            a[i] = 2 * a[i - 1];
        else
            a[i] = 2 * a[i - 1] - a[i / 2];
    }
    Set<Integer> set = new HashSet<>();
    int sum = 0;
    for (int i = n + 1; i >= 2; i--) {
        sum += a[i];
        set.add(sum);
    }
    return set;
}