Algorithm 无法理解此重复出现的复杂性

我对主定理有点耳目一新，我试图通过递归地解决大小

n-1

的2个子问题并在恒定时间内组合解决方案，来计算出一个算法的运行时间。
所以公式是：

T（N）=2T（N-1）+O（1）

但我不知道如何才能表述主定理的条件。
我的意思是我们没有主定理公式的

t（N/b）

，在这种情况下

b=N/（N-1）

？

---

如果是，因为显然

a>b^k

因为

k=0

并且是

O（N^z）

其中

z=log2

以

（N/N-1）

为基数，我如何理解这一点？假设我到目前为止是对的？

看起来你不能用主定理来描述这个问题

一个好的开始是绘制递归树来理解模式，然后用替换方法证明它。您还可以将公式展开几次，看看它的方向

另请参见此问题，它解决了2个子问题，而不是

a

：

---

不要去想马斯特定理。只有当一般形式T（n）=aT（n/b）+f（n）中的b>1时，才可以使用马斯特定理

相反，你可以这样想。您有一个递归调用，它在每次递归调用中将输入的大小n递减1。在每次递归调用时，代价是常数O（1）。输入大小将减小，直到达到1。然后将用于进行递归调用的所有成本相加。

---

他们有多少人？N所以这需要O（2^n）

啊，这些暗示够了。解决办法其实很简单。对两侧进行z变换，将项分组，然后进行z逆变换以获得解

首先，将问题视为

    x[n] = a x[n-1] + c

将z变换应用于两侧（ROC有一些技术上的问题，但我们暂时忽略）

求解X（z）得到

现在请注意，此公式可以重新编写为：

    X(z) = r z / (z-1) + s z / (z-a)

其中r=c/（1-a）和s=-AC/（1-a）

此外，请注意

    X(z) = P(z) + Q(z)

其中p（z）=rz/（z-1）=r/（1-（1/z）），Q（z）=sz/（z-a）=s/（1-a（1/z））

应用逆z变换以获得：

    p[n] = r u[n] 

及

其中log表示自然对数，u[n]是单位（Heaviside）阶跃函数（即u[n]=1表示n>=0，u[n]=0表示n 1。指数由a（更具体地说，a的自然对数）控制

再简化一下，请注意exp（log（a）n）=exp（log（a））^n=a^n：

所以O（a^n）用大O表示法

现在有一个简单的方法：

放置T（0）=1

请注意，这将创建一个模式。具体来说：

    T(n) = sum(a^j c^(n-j), j=0,...,n)

把c=1放进去

    T(n) = sum(a^j, j=0,...,n)

这是几何级数，其计算结果为：

    T(n) = (1-a^(n+1))/(1-a)
         = (1/(1-a)) - (1/(1-a)) a^n
         = (1/(a-1))(-1 + a^(n+1))

对于n>=0

---

请注意，此公式与上面使用z变换方法给出的c=1的公式相同。同样，O（a^n）。

可能是这样的，您可以这样想

什么时候

很容易看出这是一个几何级数

1+2+4+8+16…

，其和为 第一项

（比率^n-1）/（比率-1）

。对于本系列，它是

1 * (2^n - 1)/(2 - 1) = 2^n - 1.

这里的主要术语是

2^n

，因此该函数属于

Theta（2^n）

。您可以通过执行

lim（n->inf）[2^n/（2^n-1）]=+ve常量来验证它。

---

因此，函数属于大θ（2^n）

首先，这是定义不清的，因为T（1）需要定义，所以让我们将它定义为T1。其次，这实际上是一阶线性递归关系。我要给你一个提示。这样看：x[n]=a x[n-1]+C更正了OP中的一个输入错误。在公式中写入了

a

而不是

2

。这会改变你的答案吗？更正了OP中的一个输入错误。在公式中写入了

a

而不是

2

。这会改变你的答案吗？我的OP是关于如何将主定理应用于具有

a

b

和

k

的公式>递归的值正如我上面解释的，你不能直接将Master定理的公式应用于这个。但是你可以从Master定理的基础上画一个递归树，并计算出总时间。+1指出Master定理中的

b>1

！我完全忘了！对不起，我的第二条评论，实际上是O（2^n）。这是因为您在每一步进行两次递归调用。然后，递归调用的数量将在n变为1时成倍增加。对于拉门问题，我深表歉意，但什么是ROC？我甚至不记得什么是

z-transform

。但您的解决方案与教科书中的解决方案是相同的结果。因此+1@Cratylus，我加了一句简单的方法，这可能更符合你所学的内容。似乎你可以扩展术语并注意到它是一个几何级数。这是这个方程的运气。它并不总是那么干净。z变换方法适用于比1更高的阶数和时髦的组合。例如，如果T（n）=a T（n-1）+b T（n-2）会怎么样+c T（n-3）+d。简单的扩展并不总是很好。不管怎样，对我来说是很好的复习。我已经15年没有做过这件事了。似乎是正确的答案，但我必须学习它才能理解它。对于megreat答案来说太高级了。对于使用z变换的分析证明来说+1。

    T(n) = a T(n-1) + c

    T(n) = (c/(a-1))(-1+a exp(log(a) n))u[n]

    T(n) = (c/(a-1))(-1+a^(n+1))u[n]

    T(n) = a T(n-1) + c

    T(1) = a * T(0) + c = a + c
    T(2) = a * T(1) + c = a*a + a * c + c
    T(3) = a * T(2) + c = a*a*a + a * a * c + a * c + c
    ....

    T(n) = sum(a^j c^(n-j), j=0,...,n)

    T(n) = sum(a^j, j=0,...,n)

    T(n) = (1-a^(n+1))/(1-a)
         = (1/(1-a)) - (1/(1-a)) a^n
         = (1/(a-1))(-1 + a^(n+1))

n = 1, T(1) = 1
n = 2, T(2) = 2
n = 3, T(3) = 4
n = 4, T(4) = 8
n = 5, T(5) = 16

1 * (2^n - 1)/(2 - 1) = 2^n - 1.