Algorithm 用圆上的一组点计算四边形的数目

设x^2+y^2=r^2是一个r为实的圆

首先，我得到圆上的所有整数点（例如，（1,2），（-1,2），（1，-2），（-1，-2），（2,1），（-2,1），（2，-1），（-2，-1），r=sqrt{5}）

如何得到这些点上可能存在的四边形数

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我知道的唯一方法是使用蛮力测试所有可能的4个循环，并移除交叉边的循环，但对于大r来说，它变得太大了。即使对于r=sqrt（5），使用python也需要大约10秒钟。

改变方法，从一个简单的问题开始：

给定位于圆上的一组点：

• 如果尺寸为3，可以有多少个四边形
  • 容易：0
• 如果尺寸为4，可以有多少个四边形
  • 因为这些点位于同一个圆上，所以永远不会有3个点位于同一条直线上。所以答案是1

现在变得有点难了

• 如果尺寸为5，可以有多少个四边形
  • 对于4个点，我们只有一个四边形：（p1，p2，p3，p4）。现在我可以用p5替换它们中的每一个。总数是5
• 如果尺寸为n，可以有多少个四边形
  • 您可以有尽可能多的四边形作为可能的组合数，而无需重复大小为4的子集中的一组n项，即n/（4！*（n-4）！）

你不需要知道什么坐标有这些点，只需要知道它们有多少。

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记住：给定3个不在同一条直线上的点，你只能有一个圆。无论你从一个圆中得到三个点，它们永远不会在同一条直线上。这意味着，无论你如何从一个圆中获得4个点，你都可以使用它们来构建一个四边形

改变方法，从一个简单的问题开始：

给定位于圆上的一组点：

• 如果尺寸为3，可以有多少个四边形
  • 容易：0
• 如果尺寸为4，可以有多少个四边形
  • 因为这些点位于同一个圆上，所以永远不会有3个点位于同一条直线上。所以答案是1

现在变得有点难了

• 如果尺寸为5，可以有多少个四边形
  • 对于4个点，我们只有一个四边形：（p1，p2，p3，p4）。现在我可以用p5替换它们中的每一个。总数是5
• 如果尺寸为n，可以有多少个四边形
  • 您可以有尽可能多的四边形作为可能的组合数，而无需重复大小为4的子集中的一组n项，即n/（4！*（n-4）！）

你不需要知道什么坐标有这些点，只需要知道它们有多少。

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记住：给定3个不在同一条直线上的点，你只能有一个圆。无论你从一个圆中得到三个点，它们永远不会在同一条直线上。这意味着，无论从一个圆中获得4个点，您都可以使用它们来构建一个四边形

请注意，圆上的任何4个点都可以形成一个四边形（例如，按顺时针顺序选择它们）。你只需要找到所有的积分值 pythogorean三元组，其中m^n+n^2=r^2

T = 0
for m = 1 ... r
    for n = 1 ... r
        if m*m + n*n = r*r
            T++
N = 4*T  // (+/-m, +/-n) points on circle
result = N > 0 ? (N choose 4) : 0   // all quads

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为了提高效率，您可以去掉上面的内环（n^2=地板（r^2-m^2））

请注意，圆上的任意4个点形成一个四边形（例如，按顺时针顺序选择它们）。你只需要找到所有的积分值 pythogorean三元组，其中m^n+n^2=r^2

T = 0
for m = 1 ... r
    for n = 1 ... r
        if m*m + n*n = r*r
            T++
N = 4*T  // (+/-m, +/-n) points on circle
result = N > 0 ? (N choose 4) : 0   // all quads

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为了提高效率，你可以去掉上面的内环（n^2=地板（r^2-m^2））

10秒后你得到了什么答案？@user3386109 38个四边形，有210个候选空间。圆上的任何4个（不同）点都可以连接成一个四边形右侧（例如，按顺时针顺序选择4个点）？那么答案不就是n选择4=n*（n-1）*（n-2）*（n-3）/24吗？等等——r需要是毕达哥拉斯三元组（a，b，r）中的最大数。。。（+/-a，+/-b）会给你四分。。。嗯……10秒后你得到了什么答案？@user3386109 38个四边形，有210个候选点。圆上的任何4个（不同）点都可以连接成一个四边形（例如，按顺时针顺序选择4个点）？那么答案不就是n选择4=n*（n-1）*（n-2）*（n-3）/24吗？等等——r需要是毕达哥拉斯三元组（a，b，r）中的最大数。。。（+/-a，+/-b）会给你四分。。。六羟甲基三聚氰胺六甲醚。。。