Algorithm 生成括号的递归实现的时间复杂度分析

当我们使用递归函数生成带有

N

有效括号的括号时，时间复杂度与加泰罗尼亚数相同。这对我来说毫无意义

我对时间复杂性的分析是，递归树的每个节点上都有两个操作。我们可以添加一个右括号或左括号。所以我们做了两个递归调用

T(n) = 2 * T(N - 1) = O(2^N)

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我得到的

O（2^N）

是我的时间复杂性——而不是加泰罗尼亚数字。加泰罗尼亚数字对我来说太武断了——毫无意义。有人能进一步解释一下吗？

在您的假设中，您将探索所有可以由字符

'（“

和

”）构成的情况。然而，有可能消除其中一些病例，不是吗？例如，我们知道对于输入
N=4
，
”）（“
不是有效的/平衡的字符串。事实上，我们从输入该字符串的第一个字符时就知道这一点。这是Python中的递归实现，以便我们可以通过一个示例来观察它

def generate(index, N, s, depth):
    if index == N:
        print s

    if depth > 0:
        generate(index + 1, N, s + ')', depth - 1)
    if depth < N:
        generate(index + 1, N, s + '(', depth + 1)

def生成（索引、N、s、深度）：
如果索引==N：
印刷品
如果深度>0：
生成（索引+1，N，s+'），深度-1）
如果深度

本质上，在递归实现中，您保留当前深度的分数。只要该分数小于
0
，您就知道字符串变得不平衡，因此没有必要进一步探索。因此，与您假设的相反，您不会同时探索子问题

如果您仔细考虑一下，问题只是找到
N=2*K
不同字符的有效排列数。在第一个（最左侧）位置，您可以放置
K
字符。（即，所有
'（'
）在第二个位置，您可以放置其中一个
'））“
字符，或者您可以放置剩余的
K-1
”（“
字符）。通过这种方法，使用重复排列，您可以发现您提到的问题的复杂性实际上相当于第K个加泰罗尼亚数

基本上，对于长度为
2N
的字符串，你有两个不同的字符，每个字符都有
N
。使用，all这个字符串可能的排列方式是
（2N）！/（N！N！）
。那么，第N个加泰罗尼亚数字的公式就是这个值除以一个额外的
（N+1）如果您考虑的是不处理上面提到的不平衡字符串的情况，您可以看到<代码>（n+1）。
因子是由于没有同时计算两个子问题的情况造成的。
Hm，它仍然不符合我的要求。我喜欢有效的置换类比。但我不能从这里转到加泰罗尼亚数字——这对我来说毫无意义。@asndondasdoasndo231213我添加了最后一段来演示重复置换如何给你带来好处一些几乎与第n个加泰罗尼亚数相同的排列。也许这可以帮助你进一步理解界。