Algorithm 优化积分f（x）exp（-x）从x=0，无穷远

我需要一个稳健的积分算法，用于x=0和无穷大之间的

f（x）exp（-x）

，使用

f（x）

一个正的可微函数。 我事先不知道数组

x

（它是我例程的中间输出）。

x

阵列通常为对数等距，但高度不规则。 目前，我使用的是辛普森算法，我的问题是，域经常被

x

数组严重采样不足，这会产生不切实际的积分值。 在每次运行我的代码时，我都需要进行数千次这种集成（每个都有一组不同的x值），因此我需要找到一种高效而健壮的方法来集成这个函数

更多详情：

x

数组可以有2到N个点（N个已知点）。第一个值总是

x[0]=0.0

。最后一点的值始终大于可调阈值

x_max

（因此

exp（x_max）约为0

）。我只知道

f

在

x[I]

点的值（尽管该函数是平滑函数）

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我的第一个想法是做拉盖尔-高斯积分。然而，当不使用最佳正交点时，该算法似乎非常不可靠

我目前的想法是添加一组辅助点，插值

f

，以便辛普森算法变得更稳定。如果我这样做，是否存在辅助点的最佳选择

如果有任何建议，我将不胜感激， 谢谢。

设置

t=1-exp（-x）

，然后

dt=exp（-x）dx

，积分值等于

integral[ f(-log(1-t)) , t=0..1 ]

你可以用标准的辛普森公式计算，希望能得到好的结果

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请注意，分段线性插值将始终导致积分的二阶误差，因为即使采用辛普森方法，结果也相当于梯形公式。为了在辛普森方法中获得更好的误差，您需要更高的插值次数，最好是三次样条曲线。带估计导数的三次贝塞尔多项式可以快速折衷计算控制点。

在f（x）exp（x）或f（x）exp（-x）时，你可能会更幸运？（正x或负x的指数）？您的函数评估的CPU成本有多高？（更多的评估点便宜吗？）。在您了解了这一点之后，您可以查看以了解这一点如何适用于不同的时间间隔。例如，您所述的问题将使用“不使用最佳正交点时高度不可靠”：如果您不使用正确的公式，为什么它会起作用？谢谢，我实际上使用了

t=exp（-x）

，然后集成

f（t）dt

。我对照分析值检查了结果，得到的误差可以忽略不计。即使使用trapz算法，这也要快得多。是的，这也行。不同之处在于，一个参数化在增长，另一个在下降。