Algorithm 分析了一种递归T（n）=T（n-1）+；T(n-2)和"x2B,；T（n-3）？

所以，有人在早些时候发布了这篇文章，但基本上没有投入任何精力，它的标签很差，然后关闭了。尽管如此，我认为这可能是一个好问题。我发帖是因为根据OP，我的回答（在评论中发帖）与解决方案不一致。因此，我试图找出我做错了什么（假设他给出的答案确实正确）：

我们有：

T(N) = T(N-1) + T(N-2) + T(N-3)

其中N>3。他没有列出基本情况，但由于N>3，我假设

t（3）

、

t（2）

和

t（1）

可能有3个基本情况。要计算

T（K）

，我们执行以下操作：

T(K) = T(K-1) + T(K-2) + T(K-3)

那么我们必须计算：

T(K-1) = T((K-1)-1) + T((K-1)-2) + T((K-1)-3)
T(K-2) = T((K-2)-1) + T((K-2)-2) + T((K-2)-3)
T(K-3) = T((K-3)-1) + T((K-3)-2) + T((K-3)-3)

等等。。。 下面是一个树表示：

L0                                                  T(K)
                      /                              |                              \
L1               T(K-1)                            T(K-2)                           T(K-3)
          /         |     \                 /        |          \                 /   |     \
L2   T((K-1)-1) T((K-1)-2) T((K-1)-3)  T((K-2)-1) T((K-2)-2) T((K-2)-3) T((K-3)-1) T((K-3)-2) T((K-3)-3)    
                 ...                                ...                                ...

所以我们有3个孩子，然后是9个孩子，然后是27个孩子，…，直到我们达到基本情况。因此，算法是

O（3^（N-3））

，其中

N-3

用于解释三种基本情况，即在T（4）之后，我们只能有基本情况，没有更多分支

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实际的解决方案从未提供，但正如我所说，我被告知这是不正确的。如果您有任何帮助，我们将不胜感激。

您设置的重现期如下：

T(K) = T(K-1) + T(K-2) + T(K-3)

T（n）=T（n-1）+T（n-2）+T（n-3）

我想基本情况可能是

T（0）=T（1）=T（2）=1

如果你开始扩展这个循环的术语，你会得到

• T（0）=1
• T（1）=1
• T（2）=1
• T（3）=3
• T（4）=5
• T（5）=9
• T（6）=17
• T（7）=31

这里似乎没有明显的模式。幸运的是，我们可以访问在线整数序列百科全书，输入术语1、1、1、3、5、9、17，你会发现这是前三个术语为1的

如果查看有关Tribonaci编号的信息，您将看到以下内容：

T(K) = T(K-1) + T(K-2) + T(K-3)

a（n）/a（n-1）趋向于Tribonaci常数，1.839286755

（这里，a（n）是站点用于我的T（n）的符号）。由于Tribonaci序列的连续项比率趋向于约1.839286755，我们知道Tribonaci序列必须呈指数增长，并且其以约为Θ（1.839286755n）的速率呈指数增长。（将其与斐波那契序列进行比较，斐波那契序列在Θ（φn）处增长，其中φ是黄金比率）。进一步阅读后，给出了Tribonaci常数的公式：

并证实了指数增长率

因此，我们可以得出结论，运行时为Θ（1.839286755n）

所以。。。你自己怎么计算呢？最简单的方法就是使用。你可以试着为你在这里写的循环推导一个生成函数，然后试着用一个封闭的形式重写生成函数，以得到精确的值。这是获得斐波那契数闭合形式的一种方法，应该在这里进行推广（尽管可能需要进行大量令人不快的数学运算）。或者，正如@tmyklebu所指出的，您可以写出以下矩阵：

     | 0 1 0 |
 M = | 0 0 1 |
     | 1 1 1 |

计算出它的特征值，其中最大的就是Tribonaci常数。（请注意，此矩阵具有以下特性：

 | 0 1 0 |   |a|   |    b    |
 | 0 0 1 | x |b| = |    c    |
 | 1 1 1 |   |c|   |a + b + c|

因此，如果将递归中的三个连续值放入列向量v并计算Mv，则返回一个新列向量，该列向量包含递归中的后两个值，以及递归中的下一个值。这样，可以通过计算Mkv并查看第一个分量来计算递归的第k个值（向量的一部分。）

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希望这有帮助

这是我学到的一个很酷的方法，所以我想与大家分享一下。估计时间复杂度非常简单。 从重现性来看，我们猜测时间复杂度是指数的

让我们说：

T(N)=x^n

给定的重复次数为

T(N) = T(N-1) + T(N-2) + T(N-3)

替换

 x^n = x^n-1  + x^n-2  + x^n-3
Dividing throughout by x^n-3
 x^3 = x^2    + x^1    + 1
Rearranging
 x^3 - x^2 - x - 1=0

你可以找出它的立方根

这个三次方程有一个实根（1.8392867552141612）和两个复数根（数量级为0.73527）

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因此，我们的算法的运行时间是以T（N）=1.839^N为界的，正如一些人所注意到的，这种递归不同于原始递归

T（N）=T（N-1）+T（N-2）-T（N-3）

。我更喜欢@Aravind给出的假设T（N）=x^N的方法。通过此循环，您可以得到特征方程

x^3-x^2-x+1=（x-1）^2（x+1）

。（这将是@templatetypedef矩阵方法的特征方程，如果采用该方法，则为生成函数的分母。）

反复的根源导致了各种各样的困难。矩阵是不可对角化的。当你对生成函数进行因子分解时，它有一个重复的分母。当你假设T（N）=x^N时，你只得到两个线性独立的解，需要第三个

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一般来说，当你假设T（N）=x^N并得到一个双根

r

，这意味着线性独立的解是

r^N

和

N*r^N

（三重根将引入

N^2*r^N

）。所以在我们的例子中，递归的三个线性独立解是

（-1）^N

，

1^N=1

，和

N*1^N=N

。这意味着一般解是

T（N）=a（-1）^N+B+C*N

，您可以使用初始条件来确定

a

、

B

和

C

。如果

C=0，则
T（N）=Θ（N）
，否则
T（N）=Θ（1）
。这对于一个算法来说可能不太现实。
这在一个算法的上下文中有意义吗？子问题的时间减法是什么时候发生的？我不知道最初的问题是从哪里来的。尽管如此，一个ca