C 浮点数据类型不确定性

我正在对我开发的数学软件进行数值分析。我想确定我的结果的不确定性。作为

f（）

我的方法和

x

一个输入值，我想将结果的

y

标识为

f（x）+/-y

。我的

f（）

方法在

float

变量之间有多个操作。为了研究

f（）

中发生的误差传播，我必须应用不确定度公式的统计传播，并且为了这样做，我必须知道

float

变量的不确定度

我确实了解IEEE 754标准中规定的

float

变量的体系结构，以及后者固有的将十进制值转换为

float

的舍入误差

从我对文献的理解来看，

FLT\u EPSILON

宏 定义我的

y

值，但此快速测试证明它是错误的：

float f1 = 1.234567f;
float f2 = 1.234567f + 1.192092896e-7f;
float f3 = 1.234567f + 1.192092895e-7f;

printf("Inicial:\t%f\n", f1);
printf("Inicial:\t%f\n", f2);
printf("Inicial:\t%f\n\n", f3);

输出：

Inicial:  1.234567
Inicial:  1.234567
Inicial:  1.234567

Inicial:        1.2345670461654663                                                                                                           
Inicial:        1.2345671653747559                                                                                                           
Inicial:        1.2345671653747559 

预期输出的时间应为：

Inicial:  1.234567
Inicial:  1.234568 <---
Inicial:  1.234567

inical:1.234567
具体数字：1.234568
输出：

Inicial:        1.23456704616546630000
Inicial:        1.23456716537475590000
Inicial:        1.23456716537475590000

不，您的期望是错误的

在第一个
printf
调用中，您正在打印变量f1，但没有任何效果，它只是
1.234567f

输出：

Inicial:        1.23456704616546630000
Inicial:        1.23456716537475590000
Inicial:        1.23456716537475590000

不，您的期望是错误的

在第一个
printf
调用中，您打印的变量f1没有任何效果，它只是
1.234567f
，浮点是一个
32
位IEEE 754单精度浮点数：
1位表示符号，
8位表示指数，
23位表示值，也就是说，浮点具有
7
精度的小数位数

增加
printf
打印位数以查看更多内容，但
7位数之后仅显示噪音：

#include <stdio.h>

int main(void) {

 float f1 = 1.234567f;
 float f2 = 1.234567f + 1.192092897e-7f;
 float f3 = 1.234567f + 1.192092896e-7f;

 printf("Inicial:\t%.16f\n", f1);
 printf("Inicial:\t%.16f\n", f2);
 printf("Inicial:\t%.16f\n\n", f3);

 return 0;
}

浮点是IEEE 754单精度浮点数的
32位：
1位表示符号，
8位表示指数，
23位表示值，即浮点具有
7位精度的十进制数字

增加
printf
打印位数以查看更多内容，但
7位数之后仅显示噪音：

#include <stdio.h>

int main(void) {

 float f1 = 1.234567f;
 float f2 = 1.234567f + 1.192092897e-7f;
 float f3 = 1.234567f + 1.192092896e-7f;

 printf("Inicial:\t%.16f\n", f1);
 printf("Inicial:\t%.16f\n", f2);
 printf("Inicial:\t%.16f\n\n", f3);

 return 0;
}

来自统计学领域，指的是输入的不确定性如何影响它们的数学函数。对计算算术中出现的错误进行分析是必要的

FLT_EPSILON
不是浮点结果中不确定性或错误的度量。它是1和可在
float
类型中表示的下一个值之间的距离。因此，它是数量级为1的可表示数字之间的步长大小

当您将十进制数字转换为浮点时，使用“常用舍入到最近值”模式时，结果的舍入误差可能会达到步长的½。边界为½步长的原因是，对于任何数字x（在浮点格式的有限域内），在½步长（包括）内有一个可表示的值。这是因为，如果一个方向上的可表示数字大于½步长，则另一个方向上的可表示数字小于½步长

步长随数字的大小而变化。对于二进制浮点，它在2处加倍，在4处加倍，然后在8处加倍，依此类推。低于1时，它会减半，然后再次减半至½、¼，依此类推

执行浮点算术运算时，计算中发生的舍入可能会使以前的错误复现或消除。对于最终误差没有通用公式

示例代码中使用的两个数字，
1.192092897e-7f
和
1.192092896e-7f
非常接近，因此它们转换为相同的
浮点值，2−23这就是为什么您的
f2
和
f3
没有区别

f1
和
f2
之间存在差异，但您没有打印足够的数字来显示它

你会问“难道
float
x+FLT\u EPSILON
和
x-FLT\u EPSILON
的
float
值不应该相同吗？”，但你的代码不包含
x-FLT\u EPSILON

Re:“我的问题是
R
x
的浮点值，
y
的
y
值是什么，
x+y
|
x-y
等于相同的
R
浮点值？”这是
y
=0可以满足的。您的意思是问满足条件的
y
的最大值是多少？这有点复杂

一个数x的步长称为x的ULP，我们可以把它看作函数ULP（x）。ULP表示精度最低的单位。它是x的浮点表示形式中最小数字的位置值。它不是一个常数；它是x的函数
对于以浮点格式表示的大多数值，满足您条件的最大
y
是x的浮点表示中最小数字的½ULP（x）是偶数，如果该数字是奇数，则刚好低于½ULP（x）。这种复杂性是由于算术结果四舍五入到最接近的可表示值，并且在平局的情况下，选择具有偶数低位的值。因此，将½ULP（x）与x相加将产生一个平局，如果低位为偶数，该平局将四舍五入到x，但如果低位为奇数，该平局将不会四舍五入到x

但是，对于ULP变化边界上的x，满足您条件的最大
y
为¼ULP（x）。这是因为，在x以下（量级），步长会发生变化，下一个小于x的数字是x步长的一半，而不是通常的全步长。因此，在更改减法结果之前，只能向该值前进一半，因此最多
y
为¼ULP（x）