Coq中关于共导惰性列表的等式证明

我正在试验Coq共导类型。我使用Coq'Art手册中的懒惰列表类型（第13.1.4节）：

为了匹配保护条件，我还使用了本书中的以下分解函数：

Definition LList_decomp (A:Set) (l:LList A) : LList A :=
  match l with
  | LNil => LNil
  | LCons a l' => LCons a l'
  end.


Lemma LList_decompose : forall (A:Set) (l:LList A), l = LList_decomp l.
Proof.
 intros.
 case l.
 simpl.
 reflexivity.
 intros.
 simpl. 
 reflexivity.
Qed.

LNil

是左中性的引理很容易证明：

Lemma LAppend_LNil : forall (A:Set) (v:LList A), LAppend LNil v = v.
Proof.
 intros A v.
 rewrite LList_decompose with (l:= LAppend LNil v).
 case v.
 simpl.
 reflexivity.
 intros.
 simpl.
 reflexivity.
Qed.

但我被证明

LNil

也是正确中性的问题困住了：

Lemma LAppend_v_LNil : forall (A:Set) (v:LList A), LAppend v LNil = v.

在亚瑟的回答之后，我尝试了新的平等：

Lemma LAppend_v_LNil : forall (A:Set) (v:LList A), LListEq  (LAppend v LNil)  v.
Proof.
 intros.
 cofix.
 destruct v.
 rewrite LAppend_LNil.
 apply LNilEq.

我被卡住了。Coq的答案是：

1 subgoal
A : Set
a : A
v : LList A
LAppend_v_LNil : LListEq (LAppend (LCons a v) LNil) (LCons a v)
______________________________________(1/1)
LListEq (LAppend (LCons a v) LNil) (LCons a v)

在Eponier的回答之后，我想通过引入可扩展性公理对其进行最后的润色：

Axiom LList_ext: forall (A:Set)(l1 l2: LList A), (LListEq l1 l2 ) -> l1 = l2.

根据这个公理，我得到了引理的最后一个切分：

Lemma LAppend_v_LNil : forall (A:Set) (v:LList A), (LAppend v LNil) = v.
Proof.
 intros.
 apply LList_ext.
 revert v.
   cofix.
   intros.
   destruct v. Guarded. (* now we can safely destruct v *)
   - rewrite LAppend_LNil.
     constructor.
   - rewrite (LList_decompose (LAppend _ _)).
     simpl. constructor. apply LAppend_v_LNil.
Qed.

现在，这是我在这篇文章中的最后几个问题：

• 这种公理是否已经存在于某些Coq库中
• 这个公理和Coq一致吗
• 与Coq的哪些标准公理（例如经典、UIP、趣味分机、Streicher K）不一致

---

您猜对了：就像函数一样，Coq的通用相等概念太弱，无法用于大多数共导类型。如果你想证明你的结果，你需要用列表相等的共同归纳概念来取代

eq

；例如：

CoInductive LListEq (A:Set) : LList A -> LList A -> Prop :=
| LNilEq : LListEq A LNil LNil
| LConsEq x lst1 lst2 : LListEq A lst1 lst2 -> 
  LListEq A (LCons x lst1) (LCons x lst2).

---

操纵无限对象在Coq中是一个广泛的话题。如果你想了解更多，Adam Chlipala的CPDT有一个完整的共归纳法。

一个简单的规则是在你的证明中尽快使用

cofix

实际上，在您的

LAppend_v_LNil

证明中，在

destruct v

中已经违反了保护条件。您可以使用命令

Guarded

检查这一事实，这有助于在证明结束前测试是否所有的共归纳假设都是合法的

Lemma LAppend_v_LNil : forall (A:Set) (v:LList A), LListEq  (LAppend v LNil)  v.
  intros.
  cofix.
  destruct v. Fail Guarded.
Abort.

实际上，您应该交换

intros

和

cofix

。从那里，证明并不困难

编辑：这是完整的解决方案

Lemma LAppend_v_LNil : forall (A:Set) (v:LList A), LListEq (LAppend v LNil)  v.
  cofix.
  intros.
  destruct v. Guarded. (* now we can safely destruct v *)
  - rewrite LAppend_LNil.
    constructor.
  - rewrite (LList_decompose (LAppend _ _)).
    simpl. constructor. apply LAppend_v_LNil.
Qed.

---

非常感谢。我用新的等式扩展了这个问题。如果你能发布你的解决方案，那就太好了。最近有人在网站上问过类似的问题。（截至发表此评论时）还没有人回答。

Lemma LAppend_v_LNil : forall (A:Set) (v:LList A), LListEq (LAppend v LNil)  v.
  cofix.
  intros.
  destruct v. Guarded. (* now we can safely destruct v *)
  - rewrite LAppend_LNil.
    constructor.
  - rewrite (LList_decompose (LAppend _ _)).
    simpl. constructor. apply LAppend_v_LNil.
Qed.