Coq 类型类解析和自动重写

我有一个重写引理的基础。其中一些由类型类参数化。当应用引理时，当Coq不能自动解析typeclass时，重写失败是很重要的。我发现获得这种行为的唯一方法是声明大多数隐式参数

Class T (t:Type) : Type.
Instance T1 : T nat.
Instance T2 : forall {A1 A2:Type} {t1:T A1} {t2:T A2}, T (A1*A2).

Definition f {A:Type} (x:A) := x.

Lemma f_eq : forall {A:Type} (t:T A) (x:A), f x = x.
Proof.
  reflexivity.
Qed.

Lemma test1 : f (0,1) = (0,1).
Proof.
  rewrite f_eq.
  (* a subgoal T (nat * nat) is generated,
     which should have been resolved directly *)
Abort.

Lemma test2 : f (0,true) = (0,true).
Proof.
  rewrite f_eq.
  (* a subgoal T (nat * bool) is generated,
     while it should have failed *)
Abort.

Arguments f_eq {_ _} _.

Lemma test1 : f (0,1) = (0,1).
Proof.
  rewrite f_eq.
  reflexivity. (* OK *)
Qed.

Lemma test2 : f (0,true) = (0,true).
Proof.
  Fail rewrite f_eq. (* fails as expected *)
Abort.

然后我想把引理添加到重写数据库中，但是添加到数据库中的引理已经是专门化的了

Hint Rewrite f_eq : my_db. Print Rewrite HintDb my_db. (* Database my_db rewrite -> f_eq of type forall x : nat, f x = x *) 提示重写f_eq:my_db。 打印重写HintDb my_db。 （*数据库我的数据库） 重写->所有x类型的f_等式：nat，f x=x*） 如何将引理添加到重写数据库中，并在其参数的类型类解析方面获得正确的行为

编辑：有一个选项

在应用后设置Typeclass分辨率。

似乎启用了我期望的行为，但仅适用于

应用

，而不是

重写

。 相应的提交给出了以下描述：

添加一个选项以解决由apply生成的类型类目标，该选项不能 由于evars和metas之间的差异，否则会被捕获

---

一种可能的解决方案是使用ssreflect的重写（这将解决问题的第一部分），并用多重重写规则替换提示数据库。也就是说：

From mathcomp Require Import ssreflect.

Class T (t:Type) : Type.
Instance T1 : T nat.
Instance T2 : forall {A1 A2:Type} {t1:T A1} {t2:T A2}, T (A1*A2).

Definition f {A:Type} (x:A) := x.

Lemma f_eq : forall {A:Type} (t : T A) (x:A), f x = x.
Proof. by []. Qed.

(* Add more lemmas as needed *)
Definition my_db A := (@f_eq A, @f_eq A).

Lemma test1 : f (0,1) = (0,1).
Proof. by rewrite my_db. Qed.

Lemma test2 : f (0,true) = (0,true).
Proof.
Fail rewrite f_eq.
Abort.

---

这里有一个解决办法。首先，我们添加了广义引理，但我们告诉

autorewrite

策略使用策略

exact

来解决解决必要的typeclass实例的次要目标

Hint Rewrite @f_eq using (exact _): my_db.
Print Rewrite HintDb my_db.
(*
  Database my_db
  rewrite -> @f_eq of type forall A : Type, T A -> forall x : A, f x = x
  then use tactic exact _
*)

然后，您可以继续使用

rewrite

进行重写，如您在问题正文中所示，也可以使用您的数据库：

Lemma test1' : f (0,1) = (0,1).
Proof.
  autorewrite with my_db.
  reflexivity.
Qed.

Lemma test2 : f (0,true) = (0,true).
Proof.
  autorewrite with my_db.
  (* does nothing: no rewrites, no error messages *)
Abort.

请注意，在最后一种情况下，当我们使用

exact

Coq时，它不会生成表单

Build_T（nat*bool）

的新实例，如果我们使用

自反性

。 这里有一个例子来说明我的意思。如果我们从这个提示开始

Hint Rewrite @f_eq using reflexivity: my_db.

我们可以用这种方式证明test2

Lemma test2 : f (0,true) = (0,true).
Proof.
  autorewrite with my_db.
  reflexivity.
Qed.

但是如果我们使用

设置打印所有。打印测试2。

我们将看到Coq构建了一个新的

T

：

（Build_T（prod nat bool））

实例，我认为这与您的目标背道而驰——似乎您更希望Coq推断出一个已经存在的

T

实例，如果它有可能或者以某种方式失败

我们可以手动重复相同的操作：

Lemma test2' : f (0,true) = (0,true).
Proof.
  rewrite @f_eq. reflexivity.
  exact (Build_T (nat * bool)). (* `exact _` won't work *)
Qed.

---

第二次重写的错误信息给我留下了深刻的印象（

error:f_eq（f_）的LHS匹配，但类型类推理失败

），它不能更清晰，但我更喜欢没有ssreflect的解决方案。我不理解的是，标准重写和ssreflect重写在类型类分辨率处理上的区别。正如我在文章中所解释的，当使用带有标准重写的TypeClass时，我总是需要利用参数的隐含性来强制解析。对于ssreflect的重写，它似乎总是有效的。@eponier AFAICT有不同的策略和工作方式。这很有趣。我最好的尝试是

使用typeclasses eauto:My_db.

提示重写f_eq，但我认为这应该可以直接工作。关于

自反性

，我不明白它为什么起作用，它的作用是什么。@eponier我已经试着解释了我关于

自反性

的意思。谢谢，这更清楚了。实际上，我忘记了TypeClass基本上是记录，没有任何字段的记录可以很容易地实例化。事实上，在这种情况下我希望避免这种情况。我不确定这是否正确，但似乎

apply

使用了现有的typeclass实例，而不是重建它们。因此，

Hint用apply重写f_eq:my_db

可能会做你想做的事。FWIW，如果你用这个

Definition f{A:Type}{t:ta}（x:A）：=x.

，你就可以使用重写提示，你甚至不能声明

引理test2:f（0，true）=（0，true）。