关于Coq上我的归纳型的平凡定理

我定义了依赖类型和平凡引理，如下所示

Require Import Coq.Reals.Reals.

Inductive Euc :nat -> Type:=
|RO : Euc 0
|Rn : forall {n:nat}, R -> Euc n -> Euc (S n).

Lemma ROEuc : forall t:(Euc 0), t = RO.
Proof.
intros. Admitted.

我不知道如何证明这一点。

Euc 0

不是归纳类型，因此我不能使用

destruct t

或

inclusion t

---

请告诉我如何证明它。

你会发现证明更简单的类型定理很容易

Lemma ROEuc' : forall n (t : Euc n), n = 0 -> existT Euc n t = existT Euc 0 RO.

你可以简单地

解构t

，给你一个简单的例子，一个荒谬的例子，它可以通过

同余

释放

要从这个引理导出引理，需要四个工具：

inversion\u sigma

策略，将

existT

s的等式转化为从属等式

事实

UIP_dec

从证明

0=0

的所有证明都等于

eq_refl

，前提是

nat

的等式是可判定的

nat

的等式是可判定的，这一事实可以从

Coq.Arith.Arith

中的一些引理中获得（在

之后使用
搜索
需要导入Coq.Arith.Arith
以找到具有正确类型的引理的名称），或者使用
判定等式
策略从头开始证明

subst

+

siml

以查看从属等式现在将简化为要证明的定理

---

---

或者，您可以

要求导入Coq.Program.tractics

并使用

依赖销毁t

，但请注意，这通常会引入对公理的不必要依赖（使用

打印假设可见）
在这种情况下，Coq实际上足够聪明，可以为您进行依赖模式匹配。
这里使用的神奇策略是
refine（将Euc 0中的t与RO=>\ucode>匹配）
，这就给您留下了一个简单的目标（可能有一种析构函数变体可以做到这一点，但我不知道它会是什么）。在这里，Euc 0

中的

子句告诉Coq，您只对0长度向量感兴趣，并且由于0是从构造函数构建的
nat
，Coq能够通过构造函数的不相交性计算出
RS
情况是不可能的

充分证明：

Lemma ROEuc : forall t:(Euc 0), t = RO.
Proof.
intros.
refine (match t in Euc 0 with RO => _ end).
reflexivity.
Qed.

此匹配生成的证明项实际上相当复杂，但如果您需要编写有关依赖类型的其他证明，而Coq的模式匹配功能不足以帮助您，那么理解它可能会有所帮助。
Jason，您编写的引理是不可证明的。你的意思是为所有（t:Euc 0）编写
，…
？哎呀，我忘了把
n=0
作为一个假设。现在修好了。虽然你写的那本书也很有用。