如何得到无穷小的数字（对于分形） 我用OpenGL用C++编程MaldBruttSt，但是我遇到了一个问题：我发送的浮点和着色器中的计算只能满足一定的小数位数。所以如果我放大太远，它就会被像素化

我曾想过创建自定义数组函数，但我真的搞不懂。 除了使用数组，还有其他方法吗？如果不是的话，我怎么能把数组当作一个数字来计算呢？（例如，arr[1,2]x arr[0,2]应给出与仅计算1.2 x 0.2相同的输出）

vec4 gl_FragCoord中的

；
输出vec4 frag_颜色；
均匀浮动变焦；
均匀浮动x；
均匀浮动y；
#定义最大迭代次数1000次
int mandelbrot_迭代次数（）
{
浮点实数=（（gl_FragCoord.x/1440.0f-0.5f）*缩放+x）*4.0f；
浮动图像=（（gl_FragCoord.y/1440.0f-0.5f）*缩放+y）*4.0f；
int迭代次数=0；
浮动常数=实值；
浮点常量imag=imag；
while（迭代次数<最大迭代次数）
{
float tmp_real=real；
real=（real*real-imag*imag）+const_real；
imag=（2.0f*tmp\u real*imag）+常量imag；
浮动距离=实*实+图像*图像；
如果（距离>4.0f）
打破
++迭代；
}
返回迭代；
}

---

^my fragmentshader中的Mandelbrot函数

您始终可以使用

double

，但由于这是

着色器

，将在GPU上执行，因此会带来性能损失。您可以使用的一个技巧是不要使用如此低的值，因为精度会成为一个问题。取而代之的是，当你放大时，你可以在某个点上缩放你的结果，基本上保持数值在稳定的范围内，精度没有问题。IRC，Kerbal空间项目开发人员实际上有一篇关于这项技术的博客文章，所以你可以查看一下

---

找不到来自KSP的，所以这里有一个链接到Youtube上的Sebastian Lague。相关部分大约为10分钟。

您始终可以使用

double

，但由于这是

着色器

，将在GPU上执行，因此会带来性能损失。您可以使用的一个技巧是不要使用如此低的值，因为精度会成为一个问题。取而代之的是，当你放大时，你可以在某个点上缩放你的结果，基本上保持数值在稳定的范围内，精度没有问题。IRC，Kerbal空间项目开发人员实际上有一篇关于这项技术的博客文章，所以你可以查看一下

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找不到来自KSP的，所以这里有一个链接到Youtube上的Sebastian Lague。相关部分大约为10分钟。

首先，如果您使用

双精度

而不是

浮点

，您将获得两倍的精度。但这是GPU代码，所以

double

可能会慢一些。（在CPU上，

double

和

float

的速度大致相同）

你要找的东西叫做任意精度算术。要慢得多。您可以找到这样做的库，例如GMP。但是这些是给CPU的。显然，GPU也有一些，我不太熟悉。记住，它很慢

可以为GPU编写自己的任意精度算法。您不必为每个数组项存储1位数字；您应该存储尽可能多的数据（通常是32位）

你怎么加？您只需将每个元素加在一起，如果溢出，则带入下一个元素。与减法相同，如果下一个元素下溢，则从该元素借用

你如何繁殖？就像在小学里，你用每个元素乘以另一个元素，然后在底部把它们加起来

你如何划分？幸运的是，在Mandelbrot集计算中，没有除法。所以不用麻烦了

---

特别是对于Mandelbrot集，有一种更快的近似算法，称为“微扰理论算法”

微扰理论算法是一种近似计算一组邻近点的Mandelbrot集的方法。首先，选择一个称为“参考点”的点，然后使用通常的算法，以缓慢的任意精度进行计算。参考点必须是黑色像素，或者至少它必须比屏幕上的任何其他像素进行更多的迭代

---

公式是-一旦你有了一个参考点，那么对于每个像素，你只需要计算该像素和参考点之间的差值-这是一个小数字，所以你不会失去精度！首先，如果您使用

double

而不是

float

，您将获得两倍的精度。但这是GPU代码，所以

double

可能会慢一些。（在CPU上，

double

和

float

的速度大致相同）

你要找的东西叫做任意精度算术。要慢得多。您可以找到这样做的库，例如GMP。但是这些是给CPU的。显然，GPU也有一些，我不太熟悉。记住，它很慢

可以为GPU编写自己的任意精度算法。您不必为每个数组项存储1位数字；您应该存储尽可能多的数据（通常是32位）

你怎么加？您只需将每个元素加在一起，如果溢出，则带入下一个元素。与减法相同，如果下一个元素下溢，则从该元素借用

你如何繁殖？就像在小学里，你用每个元素乘以另一个元素，然后在底部把它们加起来

你如何划分？幸运的是，在Mandelbrot集计算中，没有除法。所以不用麻烦了

---

特别是对于Mandelbrot集，有一种更快的近似算法，称为“微扰理论算法”

微扰理论算法是一种近似计算Mandelbrot方程的方法

in vec4 gl_FragCoord;
 
out vec4 frag_color;
uniform float zoom;
uniform float x;
uniform float y;
#define maximum_iterations 1000

int mandelbrot_iterations()
{
    float real = ((gl_FragCoord.x / 1440.0f - 0.5f) * zoom + x) * 4.0f;
    float imag = ((gl_FragCoord.y / 1440.0f - 0.5f) * zoom + y) * 4.0f;
 
    int iterations = 0;
    float const_real = real;
    float const_imag = imag;
 
    
    while (iterations < maximum_iterations)
    {
        float tmp_real = real;
        real = (real * real - imag * imag) + const_real;
        imag = (2.0f * tmp_real * imag) + const_imag;
         
        float dist = real * real + imag * imag;
 
        if (dist > 4.0f)
            break;
 
        ++iterations;
    }
    return iterations;
}

// Fragment
#version 450 core
uniform dvec2 p0=vec2(0.0,0.0);     // mouse position <-1,+1>
uniform double zoom=1.000;          // zoom [-]
uniform int  n=100;                 // iterations [-]
uniform int  sh=7;                  // fixed point accuracy [bits]
uniform int  multipass=0;           // multi pass?
uniform int  inverted=0;            // inverted/reciprocal position?
in smooth vec2 p32;
out vec4 col;

const int n0=1;                     // forced iterations after escape to improve precision

vec3 spectral_color(float l)        // RGB <0,1> <- lambda l <400,700> [nm]
    {
    float t;  vec3 c=vec3(0.0,0.0,0.0);
         if ((l>=400.0)&&(l<410.0)) { t=(l-400.0)/(410.0-400.0); c.r=    +(0.33*t)-(0.20*t*t); }
    else if ((l>=410.0)&&(l<475.0)) { t=(l-410.0)/(475.0-410.0); c.r=0.14         -(0.13*t*t); }
    else if ((l>=545.0)&&(l<595.0)) { t=(l-545.0)/(595.0-545.0); c.r=    +(1.98*t)-(     t*t); }
    else if ((l>=595.0)&&(l<650.0)) { t=(l-595.0)/(650.0-595.0); c.r=0.98+(0.06*t)-(0.40*t*t); }
    else if ((l>=650.0)&&(l<700.0)) { t=(l-650.0)/(700.0-650.0); c.r=0.65-(0.84*t)+(0.20*t*t); }
         if ((l>=415.0)&&(l<475.0)) { t=(l-415.0)/(475.0-415.0); c.g=             +(0.80*t*t); }
    else if ((l>=475.0)&&(l<590.0)) { t=(l-475.0)/(590.0-475.0); c.g=0.8 +(0.76*t)-(0.80*t*t); }
    else if ((l>=585.0)&&(l<639.0)) { t=(l-585.0)/(639.0-585.0); c.g=0.84-(0.84*t)           ; }
         if ((l>=400.0)&&(l<475.0)) { t=(l-400.0)/(475.0-400.0); c.b=    +(2.20*t)-(1.50*t*t); }
    else if ((l>=475.0)&&(l<560.0)) { t=(l-475.0)/(560.0-475.0); c.b=0.7 -(     t)+(0.30*t*t); }
    return c;
    }

void main()
    {
    int i,j,N;
    dvec2 pp,p;
    double x,y,q,xx,yy,mu,cx,cy;
    p=dvec2(p32);

    pp=(p/zoom)-p0;         // y (-1.0, 1.0)
    pp.x-=0.5;              // x (-1.5, 0.5)
    if (inverted!=0)
        {
        cx=pp.x/((pp.x*pp.x)+(pp.y*pp.y));  // inverted
        cy=pp.y/((pp.x*pp.x)+(pp.y*pp.y));
        }
    else{
        cx=pp.x;                // normal
        cy=pp.y;
        }
    for (x=0.0,y=0.0,xx=0.0,yy=0.0,i=0;(i<n-n0)&&(xx+yy<4.0);i++)
        {
        q=xx-yy+cx;
        y=(2.0*x*y)+cy;
        x=q;
        xx=x*x;
        yy=y*y;     
        }
    for (j=0;j<n0;j++,i++)  // 2 more iterations to diminish fraction escape error
        {
        q=xx-yy+cx;
        y=(2.0*x*y)+cy;
        x=q;
        xx=x*x;
        yy=y*y;
        }
    mu=double(i)-double(log2(log(float(sqrt(xx+yy)))));
    mu*=double(1<<sh); i=int(mu);
    N=n<<sh;
    if (i>N) i=N;
    if (i<0) i=0;

    if (multipass!=0)
        {
        // i
        float r,g,b;
        r= i     &255; r/=255.0;
        g=(i>> 8)&255; g/=255.0;
        b=(i>>16)&255; b/=255.0;
        col=vec4(r,g,b,255);
        }
    else{
        // RGB
        float q=float(i)/float(N);
        q=pow(q,0.2);
        col=vec4(spectral_color(400.0+(300.0*q)),1.0);
        }
    }

// Vertex
#version 450 core
layout(location=0) in vec2 pos;         // glVertex2f <-1,+1>
out smooth vec2 p32;                    // texture end point <0,1>
void main()
    {
    p32=pos;
    gl_Position=vec4(pos,0.0,1.0);
    }

double x;

double x0,x1,x2,....,xn;

x0+=y0; x1+=y1; ... xn+=yn;

x0-=y0; x1-=y1; ... xn-=yn;

x0*=(y0+y1+...yn);
x1*=(y0+y1+...yn);
...
xn*=(y0+y1+...yn);

   if (fabs(x0)>1e-10){ x1+=x0; x0=0; }
   if (fabs(x1)>1e-9) { x2+=x1; x1=0; }
   ...
   if (fabs(x(n-1))>1e+9){ xn+=x(n-1); x(n-1)=0; }