Isabelle 非终止归纳谓词

它说的很好

[…]与递归函数相比，没有终止要求 用于归纳定义。（pdf第40页）

这是否意味着有归纳定义，其中可能有一个无限深的派生树

这种非终止派生（最好是具有无限高度的派生）的示例是什么？你如何“构建”这些

这些规则的归纳原则如何仍然合理

不，你需要共导谓词

不存在

如果你看归纳原理，你会发现它们有一个额外的前提。例如，“偶数n”。这意味着，在你应用归纳原理之前，你需要知道你手头有一个有限的导数

不，你需要共导谓词

不存在

如果你看归纳原理，你会发现它们有一个额外的前提。例如，“偶数n”。这意味着，在你应用归纳原理之前，你需要知道你手头有一个有限的导数

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拉尔斯已经回答了这个问题，但我想进一步讨论他提到的共导谓词。这些确实允许您拥有“无限深的派生树”，对应于codatatypes本质上是“可能无限的数据类型”

一个很好的例子是来自

~~/src/HOL/Library/stream

的

流类型：

codatatype 'a stream = SCons 'a "'a stream" (infixr "##" 65)

这是一个无限列表（请注意，与例如Haskell列表不同，此流类型必须无限长，就像您在Haskell中编写的
datatype stream a=SCons a（stream a）
一样，尽管Haskell样式的“潜在无限”列表也可能是直接的，参见AFP中的惰性列表）

例如，您可以定义其值来自给定集合的所有流的集合。您可以将其定义为
streams A={s.sset s⊆ A} 
，但在Isabelle中，它的定义如下：

coinductive_set streams :: "'a set ⇒ 'a stream set" for A :: "'a set"
  where "⟦a ∈ A; s ∈ streams A⟧ ⟹ a ## s ∈ streams A"

另一个可能更简单的例子是流上的共导“for all element”谓词：

coinductive sall :: "('a ⇒ bool) ⇒ 'a stream ⇒ bool" for P :: "'a ⇒ bool" where
  "P x ⟹ sall P xs ⟹ sall P (x ## xs)"

至于如何构造这样一个无限派生树的问题，也就是说，显示一个共归纳谓词包含某个值，你必须通过共归纳来实现这一点。例如，我们可以证明如果
px
保持不变，那么
sall P（sconst x）
保持不变，其中
sconst x
只是无限重复的值
x
：

lemma sconst_reduce: "sconst x = x ## sconst x"
  by (subst siterate.code) simp_all

lemma sall_sconst: "P x ⟹ sall P (sconst x)"
proof (coinduction rule: sall.coinduct)
  assume "P x"
  thus "∃y ys. sconst x = y ## ys ∧ P y ∧ (ys = sconst x ∧ P x ∨ sall P ys)"
    by (subst sconst_reduce) auto
qed

拉尔斯已经回答了这个问题，但我想进一步讨论他提到的共导谓词。这些确实允许您拥有“无限深的派生树”，对应于codatatypes本质上是“可能无限的数据类型”

一个很好的例子是来自
~~/src/HOL/Library/stream
的
流类型：

codatatype 'a stream = SCons 'a "'a stream" (infixr "##" 65)

这是一个无限列表（请注意，与例如Haskell列表不同，此流类型必须无限长，就像您在Haskell中编写的
datatype stream a=SCons a（stream a）
一样，尽管Haskell样式的“潜在无限”列表也可能是直接的，参见AFP中的惰性列表）

例如，您可以定义其值来自给定集合的所有流的集合。您可以将其定义为
streams A={s.sset s⊆ A} 
，但在Isabelle中，它的定义如下：

coinductive_set streams :: "'a set ⇒ 'a stream set" for A :: "'a set"
  where "⟦a ∈ A; s ∈ streams A⟧ ⟹ a ## s ∈ streams A"

另一个可能更简单的例子是流上的共导“for all element”谓词：

coinductive sall :: "('a ⇒ bool) ⇒ 'a stream ⇒ bool" for P :: "'a ⇒ bool" where
  "P x ⟹ sall P xs ⟹ sall P (x ## xs)"

至于如何构造这样一个无限派生树的问题，也就是说，显示一个共归纳谓词包含某个值，你必须通过共归纳来实现这一点。例如，我们可以证明如果
px
保持不变，那么
sall P（sconst x）
保持不变，其中
sconst x
只是无限重复的值
x
：

lemma sconst_reduce: "sconst x = x ## sconst x"
  by (subst siterate.code) simp_all

lemma sall_sconst: "P x ⟹ sall P (sconst x)"
proof (coinduction rule: sall.coinduct)
  assume "P x"
  thus "∃y ys. sconst x = y ## ys ∧ P y ∧ (ys = sconst x ∧ P x ∨ sall P ys)"
    by (subst sconst_reduce) auto
qed

谢谢我熟悉共导入（至少从编程的角度来看）。但“与递归函数相比，归纳定义没有终止要求”意味着什么？例如，如果没有办法分歧，为什么要费心这么说？我想这是关于
函数
和提供显式终止证明的区别，但我不确定。如果使用
函数
而不提供终止证明，则得到的结果基本相同。所有规则（归纳、简化）都有一个类似的附加假设。例如，当你有一个带有循环的编程语言的语义时，你可以把它的语义写成一个
归纳的
（程序
p
运行于状态
s
终止于状态
s'
），但是，由于可能存在非终止性，您无法使用
函数
轻松地将其写下来。一种看待它的方法是，
inclusive
为非终止“免费”提供结果
false
，而如果您编写了一个做同样事情的函数，您必须自己识别这些情况并主动返回
false
。谢谢。我熟悉共导入（至少从编程的角度来看）。但“与递归函数相比，归纳定义没有终止要求”意味着什么？例如，如果没有办法分歧，为什么要费心这么说？我想这是关于
函数
和提供显式终止证明的区别，但我不确定。如果使用
函数
而不提供终止证明，则得到的结果基本相同。所有规则（归纳、简化）都有一个类似的附加假设。例如，当你有一个带有循环的编程语言的语义时，你可以把它的语义写成一个
归纳的
（程序
p
运行于状态
s
终止于状态
s'
），但是，由于可能存在非终止性，您无法使用
函数
轻松地将其写下来。一种看待它的方式是