Language agnostic 这个张量的正确解

我在中实现了这个系统，我在正确实现径向张量场时有点不顺利

该系统中的所有张量的形式见第3页第4节

R [ cos(2t), sin(2t); sin(2t), -cos(2t) ]

径向张量场定义为：

R [ yy - xx, -2xy; -2xy, -(yy-xx) ]

在我的系统中，我只存储R和θ，因为我可以根据这些信息计算张量。这意味着我需要计算径向张量的R和θ。不幸的是，我的尝试失败了。虽然看起来是正确的，但我的解决方案在左上角和右下角象限失败

附录：根据评论中关于系统不工作的图像的讨论，我也将在这里列出一些硬数字。 整个张量场是800x480，中心点在{400240}，我们使用的是带有负y轴的标准图形坐标系（即左上角的原点）

在{400240}处，张量为R=0，T=0 在{200，120}处，张量为R=2.95936E+9，T=2.111216 在{600，120}处，张量为R=2.95936E+9，T=1.03037679

我可以很容易地在你认为可能有帮助的任何地方取样

我用来计算值的代码是：

float x = i - center.X;
float xSqr = x * x;
float y = j - center.Y;
float ySqr = y * y;

float r = (float)Math.Pow(xSqr + ySqr, 2);
float theta = (float)Math.Atan2((-2 * x * y), (ySqr - xSqr)) / 2;
if (theta < 0)
    theta += MathHelper.Pi;

float x=i-center.x；
浮点数xSqr=x*x；
浮动y=j-中心y；
浮动ySqr=y*y；
浮点r=（浮点）数学功率（xSqr+ySqr，2）；
浮点θ=（浮点）数学Atan2（-2*x*y），（ySqr-xSqr））/2；
if（θ<0）
θ+=MathHelper.Pi；

显然，您正在比较本文的公式（1）和（2）。注意公式（1）中的标量倍数l=| |（u_x，u_y）|，并在本节前面用R表示。这个因子在公式（2）中是隐含的，所以为了使它们匹配，我们必须把R因子去掉

公式（2）适用于从径向贴图的“中心”

（x0，y0）

的偏移：

x = xp - x0
y = yp - y0

要形成给定的2x2矩阵：

y^2 - x^2       -2xy

  -2xy      -(y^2 - x^2)

    C           S

    S          -C

我们需要从这个矩阵中算出一个标量R，得到一个无迹正交2x2矩阵，如公式（1）所示：

由于cos^2（2t）+sin^2（2t）=1系数R可确定为：

 R = (y^2 - x^2)^2 + (-2xy)^2 = (x^2 + y^2)^2

留下一个无迹正交2x2矩阵：

y^2 - x^2       -2xy

  -2xy      -(y^2 - x^2)

    C           S

    S          -C

从中可以通过反触发函数提取角度“tan（2t）=S/C”

嗯，差不多了。正如belisarius警告的那样，我们需要检查角度t是否在正确的象限内。这篇论文的作者写在第二节的开头。根据公式

R[cos（2t），sin（2t）；sin（2t）-cos（2t）]

，它们的“t”（指张量）取决于

R>=0和θ（你的t）位于[0,2pi]

由于正弦和余弦的周期为2pi，t（θ）仅在长度为pi的区间内唯一确定。我怀疑作者的意思是，2t位于[0,2pi]，或者更简单地说，t位于[0,pi]。贝里萨利斯建议使用“atan2等价物”将避免任何被零除的情况。我们可以（如果函数返回负值）需要添加pi，以便
t>=0
。这相当于将2pi添加到2t，因此不会影响无迹正交矩阵中条目的符号（因为'R>=0'，符号模式应在公式（1）和（2）中一致）。
特征向量有Tan[]和Cotg[]函数。您是否检查过您是否使用了atan2等价物（在您首选的prog语言中）而不是阿坦？好的，我终于开始实施了，它在左象限和右象限工作，但中间有一条线，它不会过渡。@Martin:我看了这张图片，它很引人注目，但我不知道它告诉我们什么。你有没有办法发布一些数字，例如点
（x0，y0）
和
（xp，yp）
，这样我们就可以浏览一个例子了？完成。我已经在左上角和右上角的象限中为点添加了值。如果你愿意，我可以轻松添加更多值。@Martin:谢谢，我会将这些值作为例子添加到我的答案中。但是如果可以，请解释一下图片显示的内容……是θ（你的t）的大小吗用洋红色表示？对不起，我应该解释一下。纹理是矢量2纹理，其中X坐标包含R，Y坐标包含θ。如果我没记错（otoh），那么X是图像的红色分量，Y是图像的蓝色分量。