Math 如何将数据曲线拟合到具有两个独立变量的已知公式？

假设我有一个非线性公式，比如y=（ax+bx^2+cx^3）*dx1^2

其中a、b、c、d是要找到的系数，x和x1是我试图拟合的表中的数据

我需要一个优化算法，我可以写在代码（如C或德尔菲）通过迭代运行，以获得合理的系数a，b，C，d

---

不想使用Matlab或软件包，因为这必须是一个独立的程序。参考delphi或active X装置会有所帮助。如果我可以免费使用，请不要介意为软件付费。

您的问题在a、b、c和d中是线性的，即使数据是立方的。因此，我建议将此列为一个问题。请允许我将您的x1重命名为z。这个想法是：你有

axi+bxi2+cxi3+dzi2≈ 彝族

对某些人来说，我∈{1,2,3…n}。你可以把它写成一个近似的矩阵方程：

⎡x₁ x₁² x₁³ z₁²⎤   ⎡a⎤   ⎡y₁⎤
⎢x₂ x₂² x₂³ z₂²⎥   ⎢b⎥   ⎢y₂⎥
⎢x₃ x₃² x₃³ z₃²⎥ ∙ ⎢c⎥ ≈ ⎢y₃⎥
⎢ ⋮ ⋮  ⋮  ⋮ ⎥   ⎣d⎦   ⎢⋮⎥
⎣xₙ xₙ² xₙ³ zₙ²⎦         ⎣yₙ⎦

或者更短期

M∙ X≈ Y

现在你们用矩阵M的两边：

MT∙ M∙ X=MT∙ Y

注意，我从≈ to=因为最小二乘解将完全满足这个修改后的方程（出于冗长的原因，我不想在这里讨论）。这是一个简单的4×4线性方程组。使用常用技术（例如）求解X=（a，b，c，d）

---

如果n很大，您甚至可以计算（MT∙ M） 及∙ Y） 在飞行中没有储存自己。这样，4×4+4=20个数字将是您在输入记录之间需要维护的全部内存。实际（MT）∙ M） 所以10个数字足够矩阵，总共14个。

那么，您的数据表包含多个三元组

（x，dx1，y）

，您想找到系数

a，b，c

？这是完全线性的（在未知数中）。请注意，如果最后一个操作符确实是一个产品，您不需要

d

，它已经在

a

、

b

和

c

中了，那么我建议用所选的编程语言研究“多元线性回归”，然后可以格式化x、x^2和（x^3*x1^2）并对其进行线性回归，得到a、b和c。对于格式1.0（偏移乘以1），偏移参数通常很有用在code.uhhh中，这个版本有点过于简单。@mikuszefski：在什么方面过于简单了？我遗漏了所有关于为什么这样做的理由，或者关于这实际上优化了什么的讨论。但是对于手头的问题“我如何获得合理的系数”我觉得这很管用。但我很有兴趣阅读你对这一点的看法，所以请随意写一个独立的或补充的答案。好吧，经过十多年的教学，我只能说正确的结果并不意味着答案是正确的。最小二乘法意味着你有一个向量

E

，使得

mk=Y+E

其中

k

是系数向量。在最小化

E\T E

关于

k

之后，你会得到

M\T M k\u opt=M\T Y

。从这个意义上说，你的答案是正确的，但原因是……嗯……过于简单化了……尽管，我想你知道这一点。@mikuszefski：我甚至不是想说有一个解释。只是说明，配方风格。在解释方面，我更喜欢几何视图，即从Y到M的空间的正交投影，但这需要更多的工作来阐述，也不是每个人的正确思维方式……同意……我只是对你现在用它的转置乘两边的说法感到恼火矩阵M，你可以以相等为目标，因为这意味着这是这样做的原因/正确方式；没关系。